12 bài tập Chứng minh đẳng thức liên quan đến tỉ số lượng giác có lời giải

Hướng dẫn giải

Vẽ đường phân giác AD của tam giác ABC.

Theo tính chất đường phân giác của tam giác, ta có: $\frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{AC}}$.

Suy ra $\frac{{BD}}{{AB}} = \frac{{BD + DC}}{{AB + AC}} = \frac{{BC}}{{AC + AC}}$.

Vậy $\frac{{BD}}{{AB}} = \frac{a}{{b + c}}$.

Kẻ BI⊥AD (I ∈ AD), suy ra BI ≤ BD.

∆IAB có $\widehat {AIB} = 90^\circ$.

Do đó, sin$\widehat {BAI}$ = $\frac{{BI}}{{AB}}$ hay $\sin \frac{A}{2} \le \frac{a}{{b + c}}$.

Hướng dẫn giải

Vẽ AH⊥BC, H ∈ BC.

Vì trong tam giác HAB có $\widehat H = 90^\circ$ nên sin B = $\frac{{AH}}{{AB}}$.

Do trong tam giác AHC có $\widehat H = 90^\circ$ nên sin C = $\frac{{AH}}{{AC}}$.

Do đó, $\frac{{\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{b}{c}$ suy ra $\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}$.

Tương tự, ta suy ra $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}}$.

Vậy $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}$.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

sinB = $\frac{{AC}}{{BC}}$; sinC = $\frac{{AB}}{{BC}}$.

Do đó, $\frac{{\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{BC}}:\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AC}}{{BA}}$ (đpcm).

Đáp án đúng là: D

Ta có: cos$^{2}$α + sin$^{2}$α = 1 với 0° ≤ α ≤ 180° nên ta cũng có:

${\cos ^2}\frac{\alpha }{5} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{5}$ = 1.

Suy ra $5\left( {{{\cos }^2}\frac{\alpha }{5} + {{\sin }^2}\frac{\alpha }{5}} \right) = 5$.

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC, ta có: $\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ$ nên $\widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right)$

hay $\widehat B + \widehat C = 180^\circ - \widehat A$.

Do đó sin A = sin (180° − $\widehat A$) = sin (B + C).

Suy ra khẳng định A là đúng.

Lại có $\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ$ suy ra $\frac{{\widehat A + \widehat B + \widehat C}}{2} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ$.

Do đó: cos$\frac{A}{2}$ = sin$\frac{{B + C}}{2}$ (hai góc phụ nhau).

Suy ra khẳng định C là đúng.

Mặt khác tanA = −tan(180° − A) = −tan(B + C).

Suy ra khẳng định D là đúng.

Vậy chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: A

Ta có: cotx = $\frac{{\cos x}}{{\sin x}}$.

Do đó, ta có: $\frac{{1 + \cot x}}{{1 - \cot x}} = \frac{{1 + \frac{{\cos x}}{{\sin x}}}}{{1 - \frac{{\cos x}}{{\sin x}}}} = \frac{{\frac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x}}}}{{\frac{{\sin x - \cos x}}{{\sin x}}}} = \frac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x - \cos x}} = \frac{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}} + 1}}{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}} - 1}}$

Suy ra $\frac{{1 + \cot x}}{{1 - \cot x}} = \frac{{\tan x + 1}}{{\tan x - 1}}$.

Đáp án đúng là: B

(sinx + cosx)$^{2}$ = sin$^{2}$x + 2sinxcosx + cos$^{2}$x = 1 + 2sinxcosx.

Đáp án đúng là: C

Ta có: sin$^{4}$x + cos$^{4}$x = (sin$^{2}$x)$^{2}$ + 2sin$^{2}$xcos$^{2}$x + (cos$^{2}$x)$^{2}$ – 2sin$^{2}$xcos$^{2}$x

= (sin$^{2}$x + cos$^{2}$x)$^{2}$ – 2sin$^{2}$xcos$^{2}$x

= 1 – 2sin$^{2}$xcos$^{2}$x.

Đáp án đúng là: D

Ta có: (sin$^{2}$x + cos$^{2}$x)$^{2}$ + (sin$^{2}$x – cos$^{2}$x)$^{2}$

= 1 + sin$^{4}$x + cos$^{4}$x – 2sin$^{2}$xcos$^{2}$x

= 1 + (sin$^{2}$x + cos$^{2}$x)$^{2}$ – 2sin$^{2}$xcos$^{2}$x – 2sin$^{2}$xcos$^{2}$x

= 2 – 4sin$^{2}$xcos$^{2}$x.

Đáp án đúng là: A

A = 1 – (sin$^{6}$x + cos$^{6}$x)

= 1 – (sin$^{2}$x + cos$^{2}$x)(sin$^{4}$x – sin$^{2}$xcos$^{2}$x + cos$^{4}$x)

= 1 – (sin$^{4}$x – sin$^{2}$xcos$^{2}$x + cos$^{4}$x)

= 1 – (sin$^{2}$x + cos$^{2}$x)$^{2}$ + 3sin$^{2}$xcos$^{2}$x

= 3sin$^{2}$xcos$^{2}$x.

a) Ta có: $\widehat {AMH} = 2\alpha$.

Suy ra sin2α = $\frac{{AH}}{{AM}} = \frac{{2AH}}{{2AM}} = \frac{{2AH}}{{BC}} = 2\frac{{AB.AC}}{{B{C^2}}} = 2\sin \alpha .\cos \alpha$.

b) 1 + cos2α = $1 + \sin \widehat {AMH} = 1 + \frac{{HM}}{{AM}} = \frac{{HC}}{{AM}} = \frac{{2HC}}{{BC}} = 2.\frac{{A{C^2}}}{{B{C^2}}} = 2{\cos ^2}\alpha$.

c) 1 – cos2α = $1 - \cos \widehat {AMH} = 1 - \frac{{HM}}{{AM}} = \frac{{HB}}{{AM}} = \frac{{2BH}}{{BC}} = 2.\frac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}} = 2{\sin ^2}\alpha$.

Ta có: tanB = $\frac{{AD}}{{BD}}$; tanC = $\frac{{AD}}{{CD}}$ suy ra tanB.tanC = $\frac{{A{D^2}}}{{CD.BD}}$ (1)

Có $\widehat {HBD} = \widehat {CAD}$ (cùng phụ với $\widehat {ACB}$); $\widehat {HDB} = \widehat {ADC}$ = 90°.

Do đó, ∆BDH và ∆ADC đồng dạng theo trường hợp góc góc.

Suy ra $\frac{{DH}}{{DC}} = \frac{{BD}}{{AD}}$, do đó BD.DC = DH.AD (2).

Từ (1) và (2) suy ra tanB.tanC = $\frac{{A{D^2}}}{{DH.AD}} = \frac{{AD}}{{DH}}$ (3).

Theo giả thiết $\frac{{HD}}{{AH}} = \frac{1}{2}$ suy ra $\frac{{HD}}{{AH + HD}} = \frac{1}{3}$ hay $\frac{{HD}}{{AD}} = \frac{1}{3}$.

Suy ra AD = 3HD.

Thay vào (3), ta được: tanB.tanC = $\frac{{3HD}}{{HD}}$ = 3.