12 Bài tập Áp dụng giải tam giác vào các bài toán thực tế (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Theo định lí côsin ta có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.cosA$

$= {700^2} + {900^2} - 2.700.900.cos60^\circ$= 670 000.

Suy ra: BC = $\sqrt {670000} \approx 818{,}5$(m).

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác, ta có: $\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ$$\Rightarrow \widehat A = 85^\circ$.

Theo định lí sin ta có:

$\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{BC}}{{\sin A}}$$\Leftrightarrow \frac{{AB}}{{\sin 45^\circ }} = \frac{5}{{\sin 85^\circ }}$$\Leftrightarrow AB = \sin 45^\circ .\frac{5}{{\sin 85^\circ }}$≈ 3,55 (m).

Vậy chiều cao của cây khoảng 3,55 m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta mô phỏng bài toán như hình vẽ sau:

Theo định lí côsin ta có:

$A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} - 2.BC.AC.\cos C$.

Thay số: $A{B^2} = {21^2} + {15^2} - 2.21.15.\cos 80^\circ$≈ 556,6

Suy ra: AB ≈ $\sqrt {556{,}6}$≈ 23,6 (m).

Vậy khoảng cách AB là khoảng 23,6 m và gần nhất với kết quả 24 m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Xét tam giác OCD vuông tại D có OD = AB = 55 (m); $\widehat {COD} = 60^\circ$

Nên CD = OD. tan$\widehat {COD}$ = 55$\sqrt 3$≈ 95,26 (m).

Vậy chiều cao của tháp là: 95,26 + 2 = 97,26 (m).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có: $\widehat {BAC} = \widehat {BAH} - \widehat {CAH} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Lại có: $\widehat {ABC} = 90^\circ + 15^\circ 30' = 105^\circ 30'$.

Trong tam giác ABC có: $\widehat {BCA} = 180^\circ - \left( {\widehat {BAC} + \widehat {ABC}} \right) = 29^\circ 30'$.

Áp dụng định lí sin vào ∆ABC ta có:

$\frac{{AC}}{{\sin \widehat {ABC}}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {BCA}}}$$\Rightarrow$AC = $\sin \widehat {ABC}.\frac{{AB}}{{\sin \widehat {BCA}}}$≈ 234,83 (m).

Trong tam giác vuông AHC có: $\frac{{CH}}{{AC}} = \sin 45^\circ$$\Rightarrow$CH = AC. sin 45° ≈ 166,05.

Vậy điểm pháo hoa nổ cao so với mặt đất khoảng 166,05 m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có:

$\widehat {MNB} = 180^\circ - \widehat {BNA} = 135^\circ$$\Rightarrow \widehat {MBN} = 180^\circ - \widehat {BNM} - \widehat {BMN} = 15^\circ$

Áp dụng định lí sin vào tam giác BMN ta có:

$\frac{{MN}}{{\sin \widehat {MBN}}} = \frac{{BN}}{{\sin \widehat {BMN}}}$$\Rightarrow BN = \sin \widehat {BMN}.\frac{{MN}}{{\sin \widehat {MBN}}}$ ≈ 965,92 (m)

Xét tam giác BNA vuông tại A có: AB = BN. sin $\widehat {BNA}$ ≈ 683 (m).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Áp dụng định lí côsin trong ∆ABC ta có:

$A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2AC.BC.\cos \widehat C = 2\,190\,000$

$\Rightarrow AB = \sqrt {2\,\,190\,\,000} \approx 1479{,}86\left( m \right)$

Độ dài đường hầm AB là: 1479,86 m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta mô phỏng bài toán như hình vẽ sau:

Áp dụng định lí côsin ta có:

$A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.\cos \widehat {ABC}$

$\Leftrightarrow 144 = A{B^2} + 64 - 16.AB.\cos 65^\circ$

$$\Leftrightarrow A{B^2} - 16.AB.\cos {65^o} - 80 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}AB \approx 13\\AB \approx - 6{,}18\,\,(L)\end{array} \right.$$

Do đó: AB = 13 km.

Ta có: AC + BC – AB = 12 + 8 – 13 = 7 (km)

Vậy số tiền phải tốn thêm 7 . 150 000 = 1 050 000 (đồng).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Trong tam giác ABC có: $\widehat C = 180^\circ - \widehat A - \widehat B = 75^\circ$.

Theo định lý sin ta có:

$\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}$$\Leftrightarrow$AC = $\frac{{AB.\sin B}}{{\sin C}}$= $\frac{{10.\sin 45^\circ }}{{\sin 75^\circ }}$= −10 + 10$\sqrt 3$.

Vậy khoảng cách từ trạm A đến tháp C là −10 + 10$\sqrt 3$ km.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Trong tam giác ABH vuông tại H ta có:

${\rm{AB}}\,{\rm{ = }}\,\sqrt {A{H^2} + H{B^2}} = \sqrt {{5^2} + {{15}^2}} = 5\sqrt {10}$.

Lại có: tan $\widehat {ABH}$= $\frac{{AH}}{{HB}}$= $\frac{1}{3}$$\Rightarrow$$\widehat {ABH}$≈18,43°.

$\widehat {ABC} = 90^\circ - \widehat {ABH} \approx 71{,}57^\circ$ $\Rightarrow \widehat {ACB} = 180^\circ - \widehat {CAB} - \widehat {ABC} \approx 63{,}43^\circ$.

Theo định lý sin trong tam giác ABC ta có:

$\frac{{CB}}{{\sin \widehat {CAB}}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}}$ $\Rightarrow$CB ≈ $\frac{{5\sqrt {10} .\sin 45^\circ }}{{\sin 63{,}43^\circ }}$≈12,5.

Chiều cao của cây khoảng 12,5 m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Ta có: $\widehat {ACD} = 180^\circ - \alpha = 122^\circ$$\Rightarrow \widehat {CAD} = 180^\circ - \widehat {ACD} - \widehat {ADC} = 11^\circ$.

Theo định lý sin trong tam giác ADC ta có: $\frac{{AC}}{{\sin \widehat {CDA}}} = \frac{{CD}}{{\sin \widehat {CAD}}}$

$\Rightarrow$AC = $\frac{{CD.\sin \widehat {CDA}}}{{\sin \widehat {CAD}}}$≈ 76,66 m.

Trong tam giác ABC có: $\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{AC}}{{\sin \widehat {ABC}}}$

$\Rightarrow$AB = $\frac{{AC.\sin \widehat {ACB}}}{{\sin \widehat {ABC}}}$ ≈$\frac{{76{,}66.\sin 58^\circ }}{{\sin 90^\circ }}$ ≈ 65 m.

Vậy chiều cao của tháp là 65 m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Trong tam giác ABC, áp dụng định lý côsin ta có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos A$

$\Rightarrow B{C^2} = {4^2} + {5^2} - 2.4.5.\cos 120^\circ = 61$

$\Rightarrow BC = \sqrt {61} \approx 7{,}81$.

Hỏi khoảng cách từ nhà bạn An đến nhà bạn Hòa (theo đường chim bay) gần bằng 7,81 km.