11 bài tập Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai hàm số f(x) và g(x) (có lời giải)

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là nghiệm của phương trình:

${x^2} + x - 2 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 2\end{array} \right.$.

Diện tích hình phẳng $S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^2} + x - 2} \right|{\rm{d}}x}$$= - \int\limits_{ - 2}^1 {\left( {{x^2} + x - 2} \right){\rm{d}}x} = \frac{9}{2}$.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3{x^2}$và trục hoành là:

${x^3} - 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.$.

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3{x^2}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 1$, $x = 4$ bằng:

$$S = \int\limits_1^4 {\left| {{x^3} - 3{x^2}} \right|} {\rm{d}}x = \int\limits_1^3 {\left| {{x^3} - 3{x^2}} \right|} {\rm{d}}x + \int\limits_3^4 {\left| {{x^3} - 3{x^2}} \right|} {\rm{d}}x = \left| {\int\limits_1^3 {\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)} {\rm{d}}x} \right| + \left| {\int\limits_3^4 {\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)} {\rm{d}}x} \right|$$

$= \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - {x^3}} \right)} \right|_1^3} \right| + \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - {x^3}} \right)} \right|_3^4} \right| = 6 + \frac{{27}}{4} = \frac{{51}}{4}$.

Ta thấy $\sin x + 1 \ge 0{\rm{ }}\forall x \in \left( {0;{\rm{ }}\frac{{7\pi }}{6}} \right)$ nên diện tích ${\rm{S}}$ cần tìm bằng:

$s={\int }_{0}^{\frac{7π}{6}}|\sin x+1|dx$=${\int }_{0}^{\frac{7π}{6}}(\sin x+1)dx=(-\cos \frac{7π}{6}+\frac{7π}{6})-(-\cos 0+0)=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{7π}{6}+1s$

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: $- {x^2} + 4 = - x + 2 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right.$.

Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = - {x^2} + 4$ và $y = - x + 2$ là:

$S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {\left( { - {x^2} + 4} \right) - \left( { - x + 2} \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - {x^2} + x + 2} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_{ - 1}^2 = \frac{9}{2}$.

Phương trình hoành độ giao điểm ${x^3} - x = x - {x^2} \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = - 2\end{array} \right.$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^3} - x$ và đồ thị hàm số $y = x - {x^2}$ là:

$S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^3} - x - \left( {x - {x^2}} \right)} \right|} dx = \left| {\int\limits_{ - 2}^0 {\left( {{x^3} + {x^2} - 2x} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} + {x^2} - 2x} \right)dx} } \right|$

$= \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)} \right|_{ - 2}^0} \right| + \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)} \right|_0^1} \right| = \left| { - \left( {\frac{{16}}{4} - \frac{8}{3} - 4} \right)} \right| + \left| {\left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 1} \right)} \right| = \frac{{37}}{{12}}$.