11 bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến tính đơn điệu và cực trị của hàm số (có lời giải)

Dựa vào đồ thị ta thấy:

Trong khoảng thời gian từ $0 - 3$ giây và $6 - 8$ giây thì khinh khí cầu tăng dần độ cao.

Trong khoảng thời gian từ $3 - 6$ giây thì khinh khí cầu giảm dần độ cao.

Tại thời điểm 3 phút sau khi xuất phát khinh khí cầu đang ở điểm chuyển từ tăng dần sang giảm dần nên độ cao của nó đang đạt cực đại.

Tại thời điểm 6 phút sau khi xuất phát, khinh khí cầu đang ở điểm chuyển từ giảm dần sang tăng dần nên độ cao của nó là một điểm cực tiểu.

Tập xác định: $D = [0;2000]$

${h^\prime }(x) = - \frac{1}{{440000}}{x^2} + \frac{9}{{1760}}x - \frac{{81}}{{44}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1800}\\{x = 450}\end{array}} \right.$

Bảng biến thiên:

Vậy trên đoạn [0 ; 2000] :

Tọa độ đỉnh cực tiểu của dãy núi là $(450;460{,}3125)$

Tọa độ dỉnh cực đại của dãy núi là $(1800;1392{,}27)$

Ta có ${\rm{y}} = - {{\rm{x}}^3} + 300{{\rm{x}}^2}$ với ${\rm{x}} \in [0;300]$.

${{\rm{y}}^\prime } = - 3{{\rm{x}}^2} + 600{\rm{x; }}{{\rm{y}}^\prime } = 0 \Leftrightarrow {\rm{x}} = 0{\rm{ hay x}} = 200.$

Bảng xét dấu của ${{\rm{y}}^\prime }$ trên đoạn [0; 300] như sau:

Kết hợp với đồ thị ở Hình vẽ , ta thấy lợi nhuận theo số sản phẩm sản xuất ra tăng thì đạo hàm y' mang dấu dương, lợi nhuận theo số sản phẩm sản xuất ra giảm thì đạo hàm y' mang dấu âm.

a) ${y^\prime } = {f^\prime }(x) = 0{,}03{x^2} - 0{,}08x + 0{,}25$

b) Tập xác định: $D = [0;7]$

Ta có: ${y^\prime } = {f^\prime }(x) > 0\forall x \in \mathbb{R}$ nên $y = f(x)$ luôn đồng biến $\forall x \in [0;7]$

Vậy kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam tăng liên tục trong các năm từ 2010 đến 2017.

a) $v(t) = {x^\prime }(t) = 3{t^2} - 12t + 9$, $a(t) = {v^\prime }(t) = 6t - 12$

b) TXĐ: $\left[ {0; + \infty } \right)$, $a(t) = 0 \Leftrightarrow t = 2$

Bảng biến thiên:

Vậy trong khoảng từ ${\rm{t}} = 0$ đến ${\rm{t}} = 2$ thì vận tốc của chất điểm giảm, từ ${\rm{t}} = 2$ trở đi thì vận tốc của chất điểm tăng

Xét hàm số vận tốc của tàu con thoi ${\rm{v}}({\rm{t}}) = 0{,}001302{{\rm{t}}^3} - 0{,}09029{{\rm{t}}^2} + 23$ với ${\rm{t}} \in [0;126]$.

Gia tốc của tàu con thoi là ${\rm{a}}({\rm{t}}) = {{\rm{v}}^\prime }({\rm{t}}) = 0{,}003906{{\rm{t}}^2} - 0{,}18058{\rm{t}}$.

Ta có ${{\rm{a}}^\prime }({\rm{t}}) = 0{,}007812{\rm{t}} - 0{,}18058$

${{\rm{a}}^\prime }({\rm{t}}) = 0 \Leftrightarrow {\rm{t}} \approx 23.{\rm{ }}$

Bảng biến thiên của hàm số ${\rm{a}}({\rm{t}})$ như sau:

Vậy gia tốc của tàu con thoi sẽ tăng trong khoảng thời gian $(23\;{\rm{s}};126\;{\rm{s}})$ tính từ thời điểm cất cánh cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi.

Xét hàm số: $h(t) = 2 + 24{,}5t - 4{,}9{t^2}$.

Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Ta có: ${h^\prime }(t) = - 9{,}8t + 24{,}5;{h^\prime }(t) = 0 \Leftrightarrow - 9{,}8t + 24{,}5 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{5}{2}$

BBT

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số đạt cực đại tại $t = \frac{5}{2}$,

Vậy thời điểm vật đạt độ cao lớn nhất là $t = \frac{5}{2}$ giây

a) Dân số của thị trấn đó vào năm 2000 là: $N(0) = \frac{{25.0 + 10}}{{0 + 5}} = \frac{{10}}{5} = 2$ (nghìn người)

Dân số của thị trấn đó vào năm 2015 là: $N(15) = \frac{{25.15 + 10}}{{15 + 5}} = 19{,}25$ (nghìn người)

b) Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } N(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{25t + 10}}{{t + 5}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{25 + \frac{{10}}{t}}}{{1 + \frac{5}{t}}} = 25$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } N(t) = 25$ và nên dân số của thị trấn đó luôn tăng nhưng sẽ không vượt qua ngường 25 nghìn người.

Ta có ${\rm{V}}({\rm{T}}) = 999{,}87 - 0{,}06426\;{\rm{T}} + 0{,}0085043\;{{\rm{T}}^2} - 0{,}0000679\;{{\rm{T}}^3}$ với ${\rm{T}} \in [0;30]$. ${{\rm{V}}^\prime }({\rm{T}}) = - 0{,}06426 + 0{,}0170086\;{\rm{T}} - 0{,}0002037\;{{\rm{T}}^2}$

${{\rm{V}}^\prime }({\rm{T}}) = 0 \Leftrightarrow {\rm{T}} \approx 4$ hoặc ${\rm{T}} \approx 79{,}5$. Vì ${\rm{T}} \in [0;30]$ nên ${\rm{T}} \approx 4$.

Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy thể tích ${\rm{V}}({\rm{T}})$ giảm trong khoảng nhiệt độ $({0}^{^{\circ}}C;4^{\circ}C).$

a) Do tấm kim loại có bề rộng 80 cm nên ta có: 2x + y = 80$\Leftrightarrow$y = 80 – 2x.

Để có thể thiết kế được máng trượt thì y > 0$\Leftrightarrow$80−2x > 0$\Leftrightarrow$x < 40.

Suy ra 0 < x < 40.

Diện tích của mặt cắt máng trượt là: S = xy = x(80 – 2x) = −2x$^{2}$ + 80x.

b) Ta có: S(x) = − 2x$^{2}$ + 80x với x $\in$ (0 ; 40);

S'(x)= − 4x+80;

S'(x)=0$\Leftrightarrow$− 4x + 80=0$\Leftrightarrow$x = 20.

Bảng biến thiên của hàm số S(x) như sau:

Do đó, hàm số S(x) đạt cực đại tại x = 20 và S$_{CĐ}$ = 80.

Vậy để cầu trượt đảm bảo an toàn nhất cho trẻ em thì x = 20 cm.

Ta có: ${f^\prime }(t) = \frac{{ - 5000\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}} = \frac{{25000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}}$

Tốc độ bán hàng là lớn nhất khi ${f^\prime }(t)$ lớn nhất. Đặt $h(t) = \frac{{25000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}}$.

${h^\prime }(t) = \frac{{ - 25000{e^{ - t}}{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2} - 2 \cdot \left( { - 5{e^{ - t}}} \right) \cdot \left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right) \cdot 25000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^4}}}$

$= \frac{{ - 25000{e^{ - t}}\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)\left( {1 + 5{e^{ - t}} - 10{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^4}}} = \frac{{ - 25000{e^{ - t}}\left( {1 - 5{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^3}}} \Leftrightarrow {h^\prime }(t) = 0$

$\Leftrightarrow \frac{{ - 25000{e^{ - t}}\left( {1 - 5{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^3}}} = 0 \Leftrightarrow 1 - 5{e^{ - t}} = 0 \Leftrightarrow {e^{ - t}} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow t = \ln 5({\rm{tm}})$

Ta có bảng biến thiên với $t \in [0; + \infty )$:

Vậy sau khi phát hành khoảng $\ln 5 \approx 1{,}6$ năm thì thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.