10 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Giải tam giác và ứng dụng thực tế có đáp án (Vận dụng)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

• Theo hệ quả định lí sin ta có:

$\sin A = \frac{a}{{2R}}$, $\sin B = \frac{b}{{2R}}$ và $\sin C = \frac{c}{{2R}}$.

Ta có sin$^{2}$A = sinB.sinC.

$\Leftrightarrow {\left( {\frac{a}{{2R}}} \right)^2} = \frac{b}{{2R}}.\frac{c}{{2R}}$

$\Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{{{{\left( {2R} \right)}^2}}} = \frac{{bc}}{{{{\left( {2R} \right)}^2}}}$

⇔ a$^{2}$ = bc.

Do đó phương án A đúng.

• Theo hệ quả của định lí côsin, ta có:

$\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - bc}}{{2bc}}$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số b, c > 0, ta được b$^{2}$ + c$^{2}$ ≥ 2bc.

Do đó ta có $\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - bc}}{{2bc}} \ge \frac{{2bc - bc}}{{2bc}} = \frac{{bc}}{{2bc}} = \frac{1}{2}$.

Vì vậy $\cos A \ge \frac{1}{2}$.

Do đó phương án B đúng.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

• Theo hệ quả của định lí côsin, ta có:

$\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}$ và $\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}$.

• Theo hệ quả định lí sin, ta có:

$\sin A = \frac{a}{{2R}};\,\,\sin B = \frac{b}{{2R}};\,\,\sin C = \frac{c}{{2R}}$.

• Ta có $\sin A = \frac{{\sin B + \sin C}}{{\cos B + \cos C}}$

⇔ sinA(cosB + cosC) = sinB + sinC

$\Leftrightarrow \frac{a}{{2R}}.\left( {\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} + \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}} \right) = \frac{b}{{2R}} + \frac{c}{{2R}}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{{2R}}.\frac{1}{{2a}}\left( {\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{c} + \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{b}} \right) = \frac{{b + c}}{{2R}}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{c} + \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{b}} \right) = b + c$

$\Leftrightarrow \frac{{b\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right) + c\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)}}{{bc}} = 2\left( {b + c} \right)$

⇔ a$^{2}$b + bc$^{2}$ – b$^{3}$ + a$^{2}$c + b$^{2}$c – c$^{3}$ = 2b$^{2}$c + 2bc$^{2}$

⇔ b$^{3}$ + c$^{3}$ – (a$^{2}$b + a$^{2}$c) + (b$^{2}$c + bc$^{2}$) = 0

⇔ (b + c)(b$^{2}$ – bc + c$^{2}$) – a$^{2}$(b + c) + bc(b + c) = 0

⇔ (b + c)(b$^{2}$ – bc + c$^{2}$ – a$^{2}$ + bc) = 0

⇔ (b + c)(b$^{2}$ + c$^{2}$ – a$^{2}$) = 0

⇔ b + c = 0 (vô lí vì b, c > 0) hoặc b$^{2}$ + c$^{2}$ = a$^{2}$

⇔ AC$^{2}$ + AB$^{2}$ = BC$^{2}$

Áp dụng định lí Pytago đảo, ta được ∆ABC vuông tại A.

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Diện tích ∆ABC là: $S = \frac{1}{2}a.{h_a} = \frac{1}{2}b.{h_b} = \frac{1}{2}c.{h_c}$.

Suy ra ${h_a} = \frac{{2S}}{a};\,\,{h_b} = \frac{{2S}}{b};\,\,{h_c} = \frac{{2S}}{c}$.

Diện tích ∆ABC là:

$S = \frac{1}{2}bc.\sin A = \frac{1}{2}ac.\sin B = \frac{1}{2}ab.\sin C$.

Suy ra $\sin A = \frac{{2S}}{{bc}};\,\,\sin B = \frac{{2S}}{{ac}};\,\,\sin C = \frac{{2S}}{{ab}}$.

Ta có a.sinA + b.sinB + c.sinC = h$_{a}$ + h$_{b}$ + h$_{c}$

$\Leftrightarrow a.\frac{{2S}}{{bc}} + b.\frac{{2S}}{{ac}} + c.\frac{{2S}}{{ab}} = \frac{{2S}}{a} + \frac{{2S}}{b} + \frac{{2S}}{c}$

$\Leftrightarrow 2S.\left( {\frac{a}{{bc}} + \frac{b}{{ac}} + \frac{c}{{ab}}} \right) = 2S.\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)$

$\Leftrightarrow \frac{a}{{bc}} + \frac{b}{{ac}} + \frac{c}{{ab}} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

$\Leftrightarrow \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}} = \frac{{bc + ac + ab}}{{abc}}$

⇔ a$^{2}$ + b$^{2}$ + c$^{2}$ = bc + ac + ab

⇔ 2a$^{2}$ + 2b$^{2}$ + 2c$^{2}$ = 2bc + 2ac + 2ab

⇔ (a$^{2}$ – 2ab + b$^{2}$) + (a$^{2}$ – 2ac + c$^{2}$) + (b$^{2}$ – 2bc + c$^{2}$) = 0

⇔ (a – b)$^{2}$ + (a – c)$^{2}$ + (b – c)$^{2}$ = 0

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\a - c = 0\\b - c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\a = c\\b = c\end{array} \right.$

⇔ a = b = c.

Vậy ∆ABC là tam giác đều.

Do đó ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $\frac{{{{\cos }^2}A + {{\cos }^2}B}}{{{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B}} = \frac{1}{2}\left( {{{\cot }^2}A + {{\cot }^2}B} \right)$.

$\Leftrightarrow \frac{{{{\cos }^2}A + {{\cos }^2}B}}{{{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B}} + 1 = \frac{1}{2}\left( {1 + {{\cot }^2}A + 1 + {{\cot }^2}B} \right)$

$\Leftrightarrow \frac{{{{\cos }^2}A + {{\cos }^2}B + {{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B}}{{{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}A}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}B}}} \right)$

$\Leftrightarrow \frac{2}{{{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B}} = \frac{1}{2}.\frac{{{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B}}{{{{\sin }^2}A.{{\sin }^2}B}}$

(Áp dụng kết quả Bài tập 5a và 5d, trang 65, Sách giáo khoa, Toán 10, Tập một).

⇔ (sin$^{2}$A + sin$^{2}$B)$^{2}$ = 4.sin$^{2}$A.sin$^{2}$B

⇔ sin$^{4}$A + 2.sin$^{2}$A.sin$^{2}$B + sin$^{4}$B – 4.sin$^{2}$A.sin$^{2}$B = 0

⇔ sin$^{4}$A – 2.sin$^{2}$A.sin$^{2}$B + sin$^{4}$B = 0

⇔ (sin$^{2}$A – sin$^{2}$B)$^{2}$ = 0

⇔ sin$^{2}$A = sin$^{2}$B

Theo hệ quả định lí sin, ta được ${\left( {\frac{a}{{2R}}} \right)^2} = {\left( {\frac{b}{{2R}}} \right)^2}$

$\Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{{{{\left( {2R} \right)}^2}}} = \frac{{{b^2}}}{{{{\left( {2R} \right)}^2}}}$

⇔ a$^{2}$ = b$^{2}$

⇔ a = b hay BC = AC.

Vậy ∆ABC cân tại C.

Do đó ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Áp dụng định lí côsin cho ∆ABC, ta được:

BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ – 2.AB.AC.cosA

Suy ra 70$^{2}$ = 40$^{2}$ + AC$^{2}$ – 2.40.AC.cos45°

Do đó $A{C^2} - 40\sqrt 2 .AC - 3300 = 0$

Vì vậy $AC = 10\sqrt {41} + 20\sqrt 2$ hoặc $AC = - 10\sqrt {41} + 20\sqrt 2$.

Vì AC > 0 nên ta nhận $AC = 10\sqrt {41} + 20\sqrt 2$ ≈ 92,3 (m)

Do đó ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét ∆ABH vuông tại H có $\tan \widehat {ABH} = \frac{{AH}}{{HB}} = \frac{4}{{20}} = \frac{1}{5}$.

Suy ra $\widehat {ABH} \approx 11^\circ 19'$.

Ta có CB ⊥ BH (cái cây vuông góc với mặt đất)

Suy ra $\widehat {CBH} = 90^\circ$.

Do đó $\widehat {CBA} + \widehat {ABH} = 90^\circ$

Vì vậy $\widehat {CBA} = 90^\circ - \widehat {ABH} \approx 90^\circ - 11^\circ 19' = 78^\circ 41'$.

∆ABC có $\widehat {CAB} + \widehat {CBA} + \widehat {ACB} = 180^\circ$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat {ACB} = 180^\circ - \left( {\widehat {CAB} + \widehat {CBA}} \right) \approx 180^\circ - \left( {45^\circ + 78^\circ 41'} \right) = 56^\circ 19'$.

∆ABH vuông tại H nên theo định lí Pythagore ta có:

AB$^{2}$ = AH$^{2}$ + BH$^{2}$

= 4$^{2}$ + 20$^{2}$ = 416

Suy ra AB = $4\sqrt {26}$ (m)

Áp dụng định lí sin cho ∆ABC, ta được $\frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}}$

Suy ra $\frac{{BC}}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{4\sqrt {26} }}{{\sin 56^\circ 19'}}$

Do đó $BC = \frac{{4\sqrt {26} .\sin 45^\circ }}{{\sin 56^\circ 19'}} \approx 17{,}33$ (m).

Giá trị này gần với 17,5 (m)

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $\widehat {CAD} + \widehat {BAD} = 180^\circ$ (hai góc kề bù).

$\Rightarrow \widehat {BAD} = 180^\circ - \widehat {CAD} = 180^\circ - 63^\circ = 117^\circ$.

∆ABD có: $\widehat {BAD} + \widehat {ADB} + \widehat {ABD} = 180^\circ$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

$\Rightarrow \widehat {ADB} = 180^\circ - \left( {\widehat {BAD} + \widehat {ABD}} \right) = 180^\circ - \left( {117^\circ + 48^\circ } \right) = 15^\circ$.

Áp dụng định lí sin cho ∆ABD, ta được $\frac{{BD}}{{\sin \widehat {BAD}}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {ADB}}}$

Suy ra $\frac{{BD}}{{\sin 117^\circ }} = \frac{{24}}{{\sin 15^\circ }}$

Do đó $BD = \frac{{24.\sin 117^\circ }}{{\sin 15^\circ }} \approx 82{,}6$ (m)

∆BCD vuông tại C: $\sin \widehat {CBD} = \frac{{CD}}{{BD}}$.

Suy ra $h = CD = BD.\sin \widehat {CBD} \approx 82{,}6.\sin 48^\circ = 61{,}4$ (m)

Giá trị này gần với 60,5 m.

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\widehat {BAC} + \widehat {CAD} = \widehat {BAD} = 50^\circ$

Do đó $\widehat {BAC} = 50^\circ - \widehat {CAD} = 50^\circ - 40^\circ = 10^\circ$.

∆ABD có: $\widehat {ABD} + \widehat {BAD} + \widehat {ADB} = 180^\circ$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

$\Rightarrow \widehat {ABD} = 180^\circ - \left( {\widehat {BAD} + \widehat {ADB}} \right) = 180^\circ - \left( {50^\circ + 90^\circ } \right) = 40^\circ$.

Áp dụng định lí sin cho ∆ABC, ta được $\frac{{AC}}{{\sin \widehat {ABC}}} = \frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}}$

Suy ra $AC = \frac{{BC.\sin \widehat {ABC}}}{{\sin \widehat {BAC}}} = \frac{{5.\sin 40^\circ }}{{\sin 10^\circ }} \approx 18{,}5$ (m)

∆ACD vuông tại D: $\sin \widehat {CAD} = \frac{{CD}}{{AC}}$.

Suy ra $CD = AC.\sin \widehat {CAD} \approx 18{,}5.\sin 40^\circ \approx 11{,}9$ (m)

Chiều cao của tòa nhà là:

CH = CD + DH = 11,9 + 7 = 18,9 (m)

Giá trị này gần với 19 m nhất.

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $\widehat {BAC} + \widehat {CAH} = \widehat {BAH} = 90^\circ$.

$\Rightarrow \widehat {BAC} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Ta có $\widehat {ABC} = \widehat {ABD} + \widehat {DBC} = 90^\circ + 15^\circ 30' = 105^\circ 30'$.

∆ABC có $\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat {ACB} = 180^\circ - \left( {\widehat {BAC} + \widehat {ABC}} \right) = 180^\circ - \left( {60^\circ + 105^\circ 30'} \right) = 14^\circ 30'$.

Áp dụng định lí sin cho ∆ABC, ta được $\frac{{AC}}{{\sin \widehat {ABC}}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}}$

Suy ra $AC = \frac{{AB.\sin \widehat {ABC}}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{70.\sin 105^\circ 30'}}{{\sin 14^\circ 30'}} \approx 269{,}4$ (m)

∆ACH vuông tại H: $\sin \widehat {CAH} = \frac{{CH}}{{AC}}$

Suy ra $CH = AC.\sin \widehat {CAH} \approx 269{,}4.\sin 30^\circ = 134{,}7$ (m)

Vậy ngọn núi cao khoảng 134,7 m.

Giá trị này gần với 135 m nhất.

Do đó ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Bài toán trở thành tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp R của ∆ABC.

Nửa chu vi của ∆ABC là:

$p = \frac{{AB + BC + AC}}{2} = \frac{{2{,}56 + 4{,}18 + 6{,}17}}{2} = 6{,}455$ (cm)

Diện tích của ∆ABC là:

$S = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - BC} \right)\left( {p - AC} \right)}$

$= \sqrt {6{,}455\left( {6{,}455 - 2{,}56} \right)\left( {6{,}455 - 4{,}18} \right)\left( {6{,}455 - 6{,}17} \right)}$

≈ 4,0375 (cm$^{2}$).

Ta có $S = \frac{{AB.BC.AC}}{{4R}}$

Suy ra $R = \frac{{AB.BC.AC}}{{4S}} = \frac{{2{,}56.4{,}18.6{,}17}}{{4.4{,}0375}} \approx 4{,}088$ (cm).

Vậy bán kính của chiếc đĩa bằng khoảng 4,088 cm.

Do đó ta chọn phương án C.