10 Bài tập Xét tính tăng giảm của dãy số (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Dãy số (u$_{n}$) được gọi là dãy số tăng nếu ta có u$_{n + 1}$ > u$_{n}$, ∀n ∈ ℕ$^{*}$.

Đáp án đúng là: C

+) ${u_{n + 1}}--{\rm{ }}{u_n} = \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n} = \frac{{ - 1}}{{n\left( {n + 1} \right)}}$< 0 ∀n ∈ ℕ$^{*}$.

⟹ Dãy số có tính giảm ⟹ C đúng, B sai.

+) u$_{1}$ = 1 ⟹ D sai.

+) u$_{7}$ = $\frac{1}{7}$⟹ A sai.

Đáp án đúng là: D

Ta có: u$_{n+1}$ – u$_{n}$ = (n + 1)! – n! = (n + 1 – 1). n! = n.n! > 0 ∀n ∈ ℕ$^{*}$.

Do đó dãy số có tính tăng.

⟹ D đúng, A sai.

u$_{2}$ = 2! ⟹ B sai.

u$_{10}$ = 10! > 20 ⟹ C sai.

Đáp án đúng là: D

Ta luôn có: u$_{n}$ > 0 ∀n ∈ ℕ$^{*}$.

• $u_n^2 = {\rm{ }}2n + 5$

• $u_{n + 1}^2 = 2\left( {n + 1} \right) + 5 = 2n + 7 = u_n^2 + 2$

Do đó $u_{n + 1}^2 > {\rm{ }}u_n^2$.

Ta luôn có: u$_{n}$ > 0 ∀n ∈ ℕ$^{*}$.

Nên u$_{n+1}$ > u$_{n}$ ⟹ Dãy có tính tăng ⟹ D đúng, C sai.

• ${u_3} = \sqrt {2\,.\,3 + 5} = \sqrt {11}$ ⟹ A sai.

• ${u_2} = \sqrt {2\,.\,2 + 5} = 3$ ⟹ B sai.

Đáp án đúng là: A.

• Xét dãy số: u$_{n}$ = 2n + 1

u$_{n + 1}$ – u$_{n}$ = 2(n + 1) + 1 – (2n + 1) = 2 > 0 ∀n ∈ ℕ$^{*}$.

⟹ Dãy có tính tăng ⟹ A đúng.

• Xét dãy số: u$_{n}$ = 5 – 4n

u$_{n + 1}$ – u$_{n}$ = 5 – 4(n + 1) – (5 – 4n) = – 4 < 0 ∀n ∈ ℕ$^{*}$.

⟹ Dãy có tính giảm ⟹ B sai.

• Xét dãy số: u$_{n}$ = n$^{2}$ – n

u$_{n + 1}$ – u$_{n}$ = – (n + 1)$^{2}$ + (n + 1) – (– n$^{2}$ + n) = – 2n < 0 ∀n ∈ ℕ$^{*}$.

⟹ Dãy có tính giảm ⟹ C sai.

• Xét dãy số: u$_{n}$ = (–2)$^{n}$

Có: u$_{1}$ = –2; u$_{2}$ = 4; u$_{3}$ = –8; …

⟹ Dãy không có tính tăng ⟹ D sai.

Đáp án đúng là: C

Nhận thấy $f\left( n \right) = \frac{1}{{2n + 3}}$ là hàm số nghịch biến trên ℕ$^{*}$.

Suy ra u$_{n+1}$ < u$_{n}$ ∀n ∈ ℕ$^{*}$ ⟹ Dãy số có tính giảm.

⟹ C đúng.

Đáp án đúng là: A

Ta có: u$_{n + 1}$ – u$_{n}$ = a(n + 1) + 1 – (an + 1) = a.

Để u$_{n}$ là dãy số giảm thì a < 0.

⟹ A đúng.

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{a\left( {n + 1} \right) + 4}}{{2\left( {n + 1} \right) + 1}} - \frac{{an + 4}}{{2n + 1}}$

$= \frac{{\left( {an + a + 4} \right)\left( {2n + 1} \right) - \left( {an + 4} \right)\left( {2n + 3} \right)}}{{\left( {2n + 3} \right)\left( {2n + 1} \right)}} > 0$.

Do (2n + 3)(2n + 1) > 0 ∀n ∈ ℕ$^{*}$.

⟹$(an + a + 4).(2n + 1) - (an + 4).(2n + 3)$ > 0

⟹ a.(2n + 1) – (an + 4).2 > 0

⟹ a – 8 > 0 $\Leftrightarrow$ a > 8.

Suy ra A đúng.

Đáp án đúng là: B

Ta có: u$_{n + 1}$ – u$_{n}$ = (a – 3)(n + 1) + 2 – [(a – 3)n + 2]

= (a – 3)(n + 1) + 2 – (a – 3)n – 2 = a – 3.

Để dãy số là dãy số giảm thì a – 3 < 0 hay a < 3.

Vậy có 2 giá trị thỏa mãn: a = 1 hoặc a = 2.

Đáp án đúng là: C

Ta có:

• u$_{n + 1}$ – u$_{n}$ = (n + 1)$^{2}$ + 1 – n$^{2}$ – 1= 2n + 1 ∀n ∈ ℕ$^{*}$.

• v$_{n + 1}$ – v$_{n}$ = (n + 1)$^{3}$ – n$^{3}$ = 3n$^{2}$ + 3n + 1 ∀n ∈ ℕ$^{*}$.

• w$_{n + 1}$ – w$_{n}$ = 7(n + 1) – 8 – 7n + 8 = 7 ∀n ∈ ℕ$^{*}$.

• ${a_{n + 1}}--{a_n} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) + 1}}{{n + 2}} - \frac{{2n + 1}}{{n + 1}}$

$= \frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 3} \right) - \left( {n + 2} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}$

$= \frac{1}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}$ ∀n ∈ ℕ$^{*}$.

⟹ Cả 4 dãy số đều là các dãy số tăng.