10 Bài tập Xác định vị trí mà tại đó điện trường bằng không do nhiều điện tích gây ra (có lời giải)

Do hai điện tích tại M và N trái dấu nên điểm ${\rm{P}}$ nằm ngoài đoạn ${\rm{MN}}$ và gần ${\rm{M}}$ hơn (do độ lớn điện tích tại M nhỏ hơn độ lớn điện tích tại N).

Ta có: $\left| {{E_1}} \right| = \left| {{E_2}} \right| \Rightarrow \frac{{k\left| {{q_1}} \right|}}{{{\rm{M}}{{\rm{P}}^2}}} = \frac{{k\left| {{q_2}} \right|}}{{{{({\rm{MP}} + 0{,}2)}^2}}} \Rightarrow \frac{3}{{{\rm{M}}{{\rm{P}}^2}}} = \frac{5}{{{{({\rm{MP}} + 0{,}2)}^2}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{\rm{MP}} \approx 0{,}69{\rm{\;m}}}\\{{\rm{NP}} \approx 0{,}89{\rm{\;m}}}\end{array}} \right.$

Gọi $\overrightarrow {E_1^\prime } {\rm{\, và\, }}\overrightarrow {E_2^\prime }$ là cường độ điện trường do ${{\rm{q}}_1}{\rm{ \,và\,}}{{\rm{q}}_2}$ gây ra tại M thì cường độ điện trường tổng hợp do ${{\rm{q}}_1}{\rm{\, và\, }}{{\rm{q}}_2}$ gây ra tại M là: $\overrightarrow {\rm{E}} = \overrightarrow {{\rm{E}}_1^\prime } + \overrightarrow {E_2^\prime}$

Ta có: $\overrightarrow {\rm{E}} = \overrightarrow {{\rm{E}}_1^\prime } + \overrightarrow {{\rm{E}}_2^\prime } = \vec 0 \Rightarrow \overrightarrow {{{\rm{E}}_1}} {\rm{ \,và\, }}\overrightarrow {{{\rm{E}}_2}}$ phải cùng phương, ngược chiều và bằng nhau về độ lớn. Để thỏa mãn các điều kiện đó thì M phải nằm trên đường thẳng nối A, B, nằm ngoài đoạn thẳng AB và gần q$_{2}$ hơn.

Với $E_1^\prime = E_2^\prime {\rm{\, thì\, }}{9.10^9}\frac{{\left| {{q_1}} \right|}}{{{\rm{A}}{{\rm{M}}^2}}} = {9.10^9}\frac{{\left| {{q_2}} \right|}}{{{{(AM - AB)}^2}}}$

$\Rightarrow \frac{{{\rm{AM}}}}{{{\rm{AM}} - {\rm{AB}}}} = \sqrt {\frac{{\left| {{{\rm{q}}_1}} \right|}}{{\left| {{{\rm{q}}_2}} \right|}}} = 2 \Rightarrow {\rm{AM}} = 2{\rm{AB}} = 30\;{\rm{cm}}$

Vậy M nằm cách A là 30 cm và cách B là 15 cm.

Các điện tích đặt tại các đỉnh của hình vuông gây ra tại giao điểm O của hai đường chéo hình vuông các vectơ cường độ điện trường $\overrightarrow {{E_A}} ;{\vec E_B};{\vec E_C};{\vec E_D}$ có phương chiều như hình vẽ, có độ lớn:

Ta có: ${E_A} = {E_B} = {E_C} = {E_D} = \frac{{2kq}}{{\varepsilon {a^2}}}$

Cường độ điện tường tổng hợp tại O là: $\overrightarrow {\rm{E}} = \overrightarrow {{{\rm{E}}_{\rm{A}}}} + \overrightarrow {{{\rm{E}}_{\rm{B}}}} + \overrightarrow {{{\rm{E}}_{\rm{C}}}} + \overrightarrow {{{\rm{E}}_{\rm{D}}}} = \vec 0$ vì $\overrightarrow {{{\rm{E}}_{\rm{A}}}} + \overrightarrow {{{\rm{E}}_{\rm{C}}}} = \vec 0{\rm{ \,và\, }}\overrightarrow {{{\rm{E}}_{\rm{B}}}} + \overrightarrow {{{\rm{E}}_{\rm{D}}}} = \vec 0$

Điện trường hướng ra khỏi điện tích dương, hướng vào điện tích âm và có độ lớn: $E = k\frac{{\left| Q \right|}}{{{r^2}}}.$

Điện trường tổng hợp: $\overrightarrow E = {\overrightarrow E _1} + {\overrightarrow E _2} = \overrightarrow 0$ khi hai vectơ thành phần cùng phương ngược chiều cùng độ lớn.

Vì $\left| {{q_1}} \right| < \left| {{q_2}} \right| \Rightarrow \overrightarrow E = {\overrightarrow E _1} + {\overrightarrow E _2} = \overrightarrow 0$ chỉ có thể xảy ra với điểm M.

$k\frac{{\left| {{q_1}} \right|}}{{A{M^2}}} = k\frac{{\left| {{q_2}} \right|}}{{B{M^2}}} \Leftrightarrow \frac{3}{{A{M^2}}} = \frac{4}{{{{\left( {AM + 10} \right)}^2}}} \Rightarrow AM = 64{,}64\left( {cm} \right)$

Theo giả thuyết thì ${\vec E_M} = {\vec E_1} + {\vec E_2}$ = 0 => ${\vec E_1} = - {\vec E_2}$

=> ${\vec E_1}$ ngược hướng với ${\vec E_2}$ và có cùng độ lớn

=> $\frac{{\left| {{q_1}} \right|}}{{A{M^2}}} = \frac{{\left| {{q_2}} \right|}}{{M{B^2}}}$

Vì M gần A hơn nên AM < MB => |q$_{1}$| < |q$_{2}$|

Mà ${\vec E_1}$ ngược hướng với ${\vec E_2}$ nên điện tích tại A và B đồng thời dương hoặc đồng thời âm (cùng dấu)

Theo giả thuyết thì ${\vec E_M} = {\vec E_1} + {\vec E_2}$ = 0

=> ${\vec E_1} = - {\vec E_2}$ => M phải nằm trên đường nối kéo dài của AB (như hình)

Lập luận ta được M nằm ngoài phía B (do |q$_{2}$| < |q$_{1}$| nên r$_{2}$ < r$_{1}$)

Để E$_{1}$ = E$_{2}$ thì $\frac{{\left| {{q_1}} \right|}}{{A{M^2}}} = \frac{{\left| {{q_2}} \right|}}{{B{M^2}}}$ hay $\frac{9}{{{{\left( {20 + r} \right)}^2}}} = \frac{4}{{{r^2}}}$ (*) => r = BM = 40 cm.

Theo giả thuyết thì ${\vec E_M} = {\vec E_1} + {\vec E_2}$ = 0

=> ${\vec E_1} = - {\vec E_2}$ => M phải nằm trên đường nối kéo dài của AB và ngoài phía B (như hình)

Để E$_{1}$ = E$_{2}$ thì $\frac{{\left| {{q_1}} \right|}}{{A{M^2}}} = \frac{{\left| {{q_2}} \right|}}{{B{M^2}}}$ hay $\frac{4}{{{{\left( {8 + r} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{r^2}}}$ (*) => r = BM = 8 cm.

Để ${\vec E_C}$ = 0 thì ${\vec E_1}$ ngược hướng ${\vec E_2}$ => C phải nằm trên đoạn AC

Về độ lớn thỏa E$_{1}$ = E$_{2}$

=> $\frac{{{q_1}}}{{A{C^2}}} = \frac{{{q_2}}}{{{{\left( {AB - AC} \right)}^2}}}$ => $\frac{{36}}{{A{C^2}}} = \frac{4}{{{{\left( {100 - AC} \right)}^2}}}$ => AC = 75 cm.

Từ giả thuyết ta vẽ được hình bên (trường hợp khác cũng tương tự)

Để ${\vec E_D}$ = 0 => ${\vec E_{CD}}$ = ${\vec E_{AB}}$ (hình vẽ)

Áp dụng tính chất hình học ta có: sin45$^{0}$ = $\frac{{{E_A}}}{{{E_B}}}$ = $\frac{{\frac{{{q_1}}}{{A{D^2}}}}}{{\frac{{{q_2}}}{{B{D^2}}}}}$ = $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$

=> $\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\frac{{A{D^2}}}{{B{D^2}}}$ = $\frac{{\sqrt 2 }}{4}$ => q$_{2}$ = 2$\sqrt 2$q$_{1}$ và mang điện trái dấu (*)

Mặt khác tan45$^{0}$ = $\frac{{{E_A}}}{{{E_{AB}}}}$ = 1 => E$_{A}$ = E$_{AB}$ => q$_{1}$ = q$_{3}$; kết hợp với (*).

tanα = $\frac{{{E_A}}}{{{E_C}}} = \frac{{BC}}{{CD}} = \frac{3}{4}$ => 4E$_{A}$ = 3E$_{C}$ => 4.$\frac{{{q_1}}}{{A{D^2}}}$ = 3.$\frac{{{q_3}}}{{C{D^2}}}$ => q$_{3}$ = 6,4.10$^{-8}$ C.

Để ${\vec E_D}$ = 0 thì ${\vec E_B}$= -${\vec E_{AC}}$ (ngược hướng, cùng độ lớn) được biểu diễn như hình vẽ.

=> q$_{1}$ và q$_{2}$ có giá trị dương

Từ hình ta có sinα = $\frac{{{E_A}}}{{{E_B}}} = \frac{{BC}}{{DD}} = \frac{3}{5}$ => 5E$_{A}$ = 3E$_{B}$ => 5.$\frac{{{q_1}}}{{A{D^2}}}$ = 3.$\frac{{{q_2}}}{{B{D^2}}}$

=> q$_{1}$ = 2,7.10$^{-8}$ C