10 Bài tập Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Suy ra O là trung điểm của AC và BD.

Vì ABCD là hình vuông nên AO ^ BD.

Mà SA ^ (ABCD) nên SA ^ BD.

Lại có AO ^ BD nên BD ^ (SAC) ⇒ BD ^ SO.

Do đó góc giữa (SBD) và (ABCD) bằng $\widehat{SOA}$ .

Xét ∆ABC vuông tại B, có $AC=\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}=2a\sqrt{2}$ .

Mà O là trung điểm AC nên $AO=\frac{AC}{2}=a\sqrt{2}$ .

Xét ∆SAO vuông tại A, $\tan \widehat{SOA}=\frac{SA}{AO}=\frac{a\sqrt{6}}{a\sqrt{2}}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SOA}=60^{\circ}$ .

Đáp án đúng là: B

Gọi M là trung điểm của BC.

Vì ∆SBC đều nên SM ^ BC, $SM=\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$ .

Ta có (SBC) ^ (ABC) và SM ^ BC ⇒ SM ^ (ABC) ⇒ SM ^ AC.

Gọi N là trung điểm của AC ⇒ MN // AB mà AB ^ AC suy ra MN ^ AC.

Ta có SM ^ AC và MN ^ AC ⇒ AC ^ (SMN) ⇒ AC ^ SN .

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC) bằng $\widehat{SNM}$ .

Xét ∆ABC vuông tại A, có AB = BC∙cos60° = a.

Vì MN là đường trung bình của ∆ABC nên $MN=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}$ .

Xét ∆SMN vuông tại M, $\tan \widehat{SNM}=\frac{SM}{MN}=2\sqrt{3}$ .

Đáp án đúng là: C

Vì SO ^ (ABCD) nên SO ^ BC.

Gọi M là trung điểm của BC ⇒ OM ^ BC.

Vì SO ^ BC và OM ^ BC nên BC ^ (SOM) ⇒ BC ^ SM.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng $\widehat{SMO}$ .

Vì OM là đường trung bình của ∆ABC nên $OM=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}$ .

Xét ∆SOM vuông tại O, có $\tan \widehat{SMO}=\frac{SO}{OM}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SMO}=60^{\circ}$

Đáp án đúng là: B

Vì SA ^ (ABC) nên SA ^ CM.

Kẻ AH ^ CM tại H.

Vì SA ^ CM và AH ^ CM nên CM ^ (SAH) ⇒ CM ^ SH

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SMC) và mặt đáy (ABC) bằng .

Vì M là trung điểm của AB nên $BM=\frac{AB}{2}=1$.

Xét ∆CBM vuông tại B, có $CM=\sqrt{B{M}^{2}+B{C}^{2}}=\sqrt{{1}^{2}+{(2\sqrt{3})}^{2}}=\sqrt{13}$ .

Ta có S$_{∆ABC}$ = 2S$_{∆CMA}$ nên $\frac{1}{2}AB.BC=2.\frac{1}{2}AH.CM\Rightarrow 2\sqrt{3}=AH.\sqrt{13}\Rightarrow AH=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$.

Xét ∆SAH vuông tại A, $\tan \widehat{SHA}=\frac{SA}{AH}=\frac{\sqrt{13}}{4}$ .

Đáp án đúng là: B

Vì SA ^ (ABC) nên SA ^ BC mà AB ^ BC (do tam giác ABC vuông cân tại B) nên BC ^ (SAB) ⇒ BC ^ SB.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là $\widehat{SBA}$ .

Xét ∆SAB vuông tại A, $\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SBA}=60^{\circ}$ .

Đáp án đúng là: B

Vì $\begin{matrix}(SAB)\perp (ABCD) \\ (SAC)\perp (ABCD) \\ (SAB)\cap (SAC)=SA\end{matrix}\}\Rightarrow SA\perp (ABCD)$ .

Kẻ CK ^ AB tại K.

Vì SA ^ (ABCD) nên SA ^ CK mà CK ^ AB nên CK ^ (SAB).

Do đó hình chiếu của SC lên mặt phẳng (SAB) là SK.

Do đó .

Xét ∆SCK vuông tại K, có CK = SC.sin30° = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Vì tam giác ABC cân tại C mà $CK=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ nên tam giác ABC đều.

Vì SA ^ (ABCD) nên SA ^ AC, SA ^ AB.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng $\widehat{BAC}=60^{\circ}$ .

Đáp án đúng là: A

Vì $\begin{matrix}S\in (SAB)\cap (SCD) \\ AB//CD\end{matrix}\}\Rightarrow (SAB)\cap (SCD)=Sx(Sx//AB//CD)$ .

Vì SA ^ (ABCD) ⇒ SA ^ AB, SA ^ CD.

Vì SA ^ AB mà AB // Sx nên SA ^ Sx.

Vì SA ^ CD mà CD ^ AD nên CD ^ (SAD) ⇒ CD ^ SD mà CD // Sx nên SD ^ Sx.

Do đó góc tạo bởi (SAB) và (SCD) bằng .

Xét ∆SAD vuông tại A, có $\tan \widehat{DSA}=\frac{AD}{SA}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \widehat{DSA}=30^{\circ}$ .

Đáp án đúng là: B

Gọi H là trung điểm của AB, theo đề ra ta được SH ^ (ABCD).

Dựng T, K lần lượt là hình chiếu của H lên SA, SB ⇒ HT ^ SA, HK ^ SB.

Vì SH ^ (ABCD) ⇒ SH ^ AD, SH ^ BC.

Vì SH ^ AD mà AD ^ AB ⇒ AD ^ (SAB) ⇒ AD ^ HT

Mà HT ^ SA ⇒ HT ^ (SAD).

Tương tự, HK ^ (SBC).

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) bằng $\widehat{KHT}$ .

Vì tứ giác SKHT có $\widehat{SKH}+\widehat{STH}=180^{\circ}$ nên tứ giác SKHT là tứ giác nội tiếp.

Suy ra $\widehat{KST}+\widehat{KHT}=180^{\circ}$ mà $\widehat{KST}=120^{\circ}$ nên $\widehat{KHT}=60^{\circ}$ .

Đáp án đúng là: B

Gọi H là trung điểm cạnh AC. Suy ra BH ^ AC.

Vì SA ^ (ABC) ⇒ SA ^ BH mà BH ^ AC nên BH ^ (SAC) ⇒ BH ^ SC.

Kẻ HK ^ SC tại K.

Do HK ^ SC và BH ^ SC nên SC ^ (BHK) ⇒ SC ^ BK.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng $\widehat{HKB}=φ$ .

Vì ∆ABC vuông cân tại B nên $BH=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

Xét ∆SAC vuông tại A, có $SC=\sqrt{S{A}^{2}+A{C}^{2}}=\sqrt{{a}^{2}+2{a}^{2}}=a\sqrt{3}$ .

Vì ∆CKH đồng dạng với ∆CAS (góc - góc) nên $\frac{CH}{CS}=\frac{HK}{SA}\Rightarrow HK=\frac{CH.SA}{CS}=\frac{a\sqrt{6}}{6}$.

Vì BH ^ (SAC) ⇒ BH ^ HK.

Xét tam giác BHK vuông tại H, có $\tan φ=\frac{BH}{HK}=\sqrt{3}\Rightarrow φ=60^{\circ}$ .