10 Bài tập Xác định và tính góc giữa hai đường thẳng (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Ta có: AC // A'C' (do ABCD.A'B'C'D') là hình hộp.

Do đó, (AC, A'D) = (A'C', A'D) = $\widehat{DA'C'}$ (do giả thiết tam giác DA'C' nhọn).

Đáp án đúng là: D

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

Do đó, AH vuông góc với (BCD).

ABCD là tứ diện đều tất cả các cạnh bằng nhau nên tam giác BCD đều.

Gọi E là trung điểm của CD ⇒ BE vuông góc với CD.

Do AH vuông góc với (BCD) nên AH vuông góc với CD.

Ta có: $\{\begin{matrix}CD\perp BE \\ CD\perp AH\end{matrix}\Rightarrow CD\perp (ABE)\Rightarrow CD\perp AB\Rightarrow (AB,CD)=90^{\circ}$ .

Đáp án đúng là: A

Không mất tính tổng quát, giả sử tứ diện ABCD có cạnh bằng a.

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD nên AH vuông góc với (BCD).

Gọi E là trung điểm AC, ta có:

ME // AB ⇒ (AB, DM) = (ME, MD)

Ta có: cos(AB, DM) = cos(ME, MD) $=|\cos (\overrightarrow{ME},\overrightarrow{MD})|=|\mathrm{co}\widehat{sEMD}|$

Do các mặt của tứ diện đều là tam giác đều, từ đó ta dễ dàng tính được độ dài các cạnh của tam giác MED: ME = $\frac{a}{2}$ ; ED = MD =$\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Xét tam giác MED, ta có:

$\cos \widehat{EMD}=\frac{M{E}^{2}+M{D}^{2}-E{D}^{2}}{2ME.MD}=\frac{{(\frac{a}{2})}^{2}+{(\frac{a\sqrt{3}}{2})}^{2}-{(\frac{a\sqrt{3}}{2})}^{2}}{2.\frac{a}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$.

Từ đó $\cos (AB,DM)=|\frac{\sqrt{3}}{6}|=\frac{\sqrt{3}}{6}$ .

Đáp án đúng là: D

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, do đó, O là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình vuông ABCD (1)

Ta có: SA = SB = SC = SD nên S nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD (2).

Từ (1) và (2) ta có: SO vuông góc với (ABCD).

Từ giả thiết ta có: MN song song với SA (do MN là đường trung bình của tam giác SAD)

⇒ (MN, SC) = (SA, SC)

Xét tam giác SAC có:

SA$^{2}$ + SC$^{2}$ = a$^{2}$ + a$^{2}$ = 2a$^{2}$

AC$^{2}$ = AD$^{2}$ + DC$^{2}$ = 2a$^{2}$

Suy ra SA$^{2}$ + SC$^{2}$ = AC$^{2}$.

Do đó, tam giác SAC vuông tại S nên SA vuông góc với SC.

Vậy (MN, SC) = (SA, SC) = 90°.

Đáp án đúng là: C

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD

Do đó, O là tâm của đường tròn ngoại tiếp của hình vuông ABCD (1)

Ta có: SA = SB = SC = SD nên S nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD (2)

Từ (1) và (2) ⇒ SO vuông góc với (ABCD)

Ta lại có: IJ // SB (do IJ là đường trung bình của tam giác SAB)

⇒ (IJ, CD) = (SB, AB)

Mặt khác, ta lại có tam giác SAB đều, do đó $\widehat{SBA}=60^{\circ}$ ⇒ (IJ, CD) = (SB, AB) = $60^{\circ}$ .

Đáp án đúng là: D

Do I, J, E, F lần lượt là trung điểm của AC, BC, BD, AD. Do đó IJ là đường trung bình của tam giác ABC, EF là đường trung bình của tam giác ABD, JE là đường trung bình của tam giác BCD, IF là đường trung bình của tam giác ACD.

Từ đó, ta có:

IJ // EF // AB

JE // IF // CD

Do đó, tứ giác IJEF là hình bình hành

Mặt khác: AB = CD ⇒ IJ = $\frac{1}{2}$ AB = $JE=\frac{1}{2}CD$

Do đó, ABCD là hình thoi.

Do đó, IE vuông góc với JF (tính chất hai đường chéo của hình thoi)

⇒ $(IE,JF)=90^{\circ}$ .

Đáp án đúng là: D

Ta có:

AE // DH (do ABCD.EFGH là hình lập phương)

AE cắt AB tại A

⇒ (AB, DH) = (AE, AB)

Mà AE vuông góc với AB nên (AB, DH) = (AE, AB) = $90^{\circ}$ .

Đáp án đúng là: C

Vì ABCD và ABC'D' là hình vuông nên AD // BC'; AD = BC'

⇒ ADBC' là hình bình hành

Mà O, O' là tâm của 2 hình vuông nên O, O' là trung điểm của BD và AC'

Do đó, OO' là đường trung bình của ADBC'.

Do đó, OO' song song với AD.

Mặt khác, AD vuông góc với AB nên OO' vuông góc với AD nên (OO', AB) = $90^{\circ}$ .

Đáp án đúng là: B

Giả sử cạnh của tứ diện là a.

Ta có: $\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DM})=\frac{|\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DM}|}{|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{DM}|}=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DM}}{a.\frac{a\sqrt{3}}{2}}$

Mặt khác:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AD})=\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=AB.AM.\cos 30^{\circ}-AB.AD.\cos 60^{\circ}$.

$a.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}-a.a.\frac{1}{2}=\frac{3{a}^{2}}{4}-\frac{{a}^{2}}{2}=\frac{{a}^{2}}{4}$

$\Rightarrow \cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DM})=\frac{\sqrt{3}}{6}\Rightarrow \cos (AB,DM)=\frac{\sqrt{3}}{6}$

Đáp án đúng là: D

Gọi O là tâm của hình thoi ABCD

Ta có: OJ // CD

Nên (IJ, CD) = (IJ, OJ)

Nên góc giữa IOJ và CD bằng góc giữa IJ và OJ

Xét tam giác IOJ có: $IJ=\frac{1}{2}SB=\frac{a}{2};OJ=\frac{1}{2}CD=\frac{a}{2};IO=\frac{1}{2}SA=\frac{a}{2}$

Nên tam giác IOJ đều

Vậy (IJ, CD) = (IJ, OJ) = $\widehat{IJO}$ = $60^{\circ}$ .