10 bài tập Xác định tham số để phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện về dấu của các nghiệm có lời giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình x$^{2}$ + 2(m +1)x – m$^{2}$ – 1 = 0 là phương trình bậc hai một ẩn có $\frac{c}{a} = - {m^2} - 1.$

Với mọi m, ta có: m$^{2}$ ≥ 0, nên –m$^{2}$ – 1 < 0, hay $\frac{c}{a} < 0.$

Vậy phương trình này có hai nghiệm trái dấu với mọi m.

>

Đáp án đúng là: A

Phương trình x$^{2}$ – 2(m – 3)x + 8 – 4m = 0 là phương trình bậc hai một ẩn có:

∆' = [–(m – 3)]$^{2}$ – 1.(8 – 4m) = m$^{2}$ – 6m + 9 – 8 + 4m = m$^{2}$ – 2m + 1 = (m – 1)$^{2}$.

Để phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt thì $\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.$ tức là $\left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} > 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2\left( {m - 3} \right) < 0\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\8 - 4m > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.$>>

⦁ Giải (1):

(m – 1)$^{2}$ > 0

(m – 1)$^{2}$ ≠ 0

m – 1 ≠ 0

m ≠ 1.

⦁ Giải (2):

2(m – 3) < 0

m – 3 < 0

m < 3.

⦁ Giải (3):

8 – 4m > 0

– 4m > –8

m < 2.

Kết hợp 3 điều kiện, ta được: m < 2 và m ≠ 1.

Vậy ta chọn phương án A.

>>>>>

Đáp án đúng là: C

Phương trình x$^{2}$ – 6x + 2m + 1 = 0 là phương trình bậc hai một ẩn có:

∆' = (–3)$^{2}$ – 1.(2m + 1) = 9 – 2m – 1 = 8 – 2m.

Để phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt thì $\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.$ tức là $\left\{ \begin{array}{l}8 - 2m > 0\\6 > 0\\2m + 1 > 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l} - 2m > - 8\\2m > - 1\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}m < 4\\m > - \frac{1}{2}\end{array} \right.$ nên $- \frac{1}{2} < m < 4.$

Mà m là số nguyên nên m ∈ {0; 1; 2; 3}.

Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

>>

Đáp án đúng là: B

Phương trình x$^{2}$ + (3m – 1)x + m$^{2}$ = 0 là phương trình bậc hai một ẩn có:

∆ = (3m – 1)$^{2}$ – 4.1.m$^{2}$ = 9m$^{2}$ – 6m + 1 – 4m$^{2}$ = 5m$^{2}$ – 6m + 1.

Để phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt thì $\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.$ tức là $\left\{ \begin{array}{l}5{m^2} - 6m + 1 > 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ - \left( {3m - 1} \right) < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\{m^2} > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.$>>

Giải (3):

m$^{2}$ > 0

m≠ 0.

Giải (2):

–(3m – 1) < 0

3m – 1 > 0

$m > \frac{1}{3}.$

Giải (1):

5m$^{2}$ – 6m + 1 > 0

(5m – 1)(m – 1) > 0

5m – 1 < 0 hoặc m – 1 > 0>

$m < \frac{1}{5}$ hoặc m > 1.>

Kết hợp 3 điều kiện, ta được: m ≠ 0, $m < \frac{1}{5}$ hoặc m > 1.>

Mà m là số nguyên nhỏ nhất nên m = 2.

Vậy ta chọn phương án B.

>

Đáp án đúng là: C

Để phương trình mx$^{2}$ – 2(m – 2)x + 3(m – 2) = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu thì $\left\{ \begin{array}{l}a = m \ne 0\\\Delta ' > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\P > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

⦁ Giải (1): Với m ≠ 0, phương trình đã cho là phương trình bậc hai một ẩn có:

∆' = [–(m – 2)]$^{2}$ – m.3(m – 2) = m$^{2}$ – 4m + 4 – 3m$^{2}$ + 6m

= –2m$^{2}$ + 2m + 4 = –2(m$^{2}$ – m – 2) = –(m – 2)(m + 1).

Ta có: ∆' > 0 thì

–(m – 2)(m + 1) > 0

(m – 2)(m + 1) < 0

m – 2 < 0 và m + 1 > 0 (do m – 2 < m + 1)

m < 2 và m > –1>

–1 < m < 2.

⦁ Giải (2):

P > 0

$\frac{{3\left( {m - 2} \right)}}{m} > 0$

m < 0 (do ở điều kiện (1), ta đã kết luận m – 2 < 0).

Kết hợp 3 điều kiện, ta được: –1 < m < 0.

Vậy ta chọn phương án C.

>>>>>>

Đáp án đúng là: C

Phương trình 2x$^{2}$ + (2m – 1)x + m – 1 = 0 là phương trình bậc hai một ẩn, có hai nghiệm trái dấu khi $P = \frac{{m - 1}}{2} < 0,$ tức là m < 1.

Phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối nhưng trái dấu nhau, tức chúng là số đối của nhau nên $S = - \frac{{2m - 1}}{2} = 0,$ suy ra 2m – 1 = 0 nên $m = \frac{1}{2}$ (thỏa mãn).

>

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình x$^{2}$ – (m – 3)x – m + 2 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có a = 1, b = – (m – 3), c = – m + 2.

Ta có: a – b + c = 1 – [– (m – 3)] + (–m + 2) = 1 + m – 3 – m + 2 = 0.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là: x$_{1}$ = –1, x$_{2}$ = m – 2.

Khi đó, để phương trình có ít nhất một nghiệm không âm thì x$_{2}$ ≥ 0, tức là m – 2 ≥ 0, hay m ≥ 2.

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét phương trình x$^{2}$ + (m + 2)x – m – 4 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:

∆ = (m + 2)$^{2}$ – 4.1.(– m – 4) = m$^{2}$ + 4m + 4 + 4m + 16

= m$^{2}$ + 8m + 20 = (m + 4)$^{2}$ + 4 > 0 với mọi m.

Do đó phương phương trình có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$ với mọi m.

Trường hợp 1. x$_{2}$ = 0 thay vào phương trình đã cho ta được:

0$^{2}$ + (m + 2).0 – m – 4 = 0, suy ra m = –4.

Thay m = –4 vào phương trình đã cho ta được:

x$^{2}$ + (–4 + 2)x – (–4) – 4 = 0

x$^{2}$ – 2x = 0

x(x – 2) = 0

x = 0 hoặc x – 2 = 0

x = 0 hoặc x = 2.

Khi đó x$_{1}$ = 2, x$_{2}$ = 0 không thỏa mãn x$_{1}$ < 0 ≤ x$_{2}$.

Trường hợp 2. x$_{1}$ < 0 < x$_{2}$ thì x$_{1}$x$_{2}$ < 0 tức là $\frac{{ - m - 4}}{1} < 0,$ suy ra m > –4.

Kết hợp hai trường hợp ta được m > –4.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: D

Xét phương trình x$^{4}$ – 6x$^{2}$ + m = 0.

Đặt x$^{2}$ = t (t ≥ 0) ta có phương trình t$^{2}$ – 6t + m = 0 (với m là tham số) là phương trình bậc hai ẩn t có:

∆' = (–3)$^{2}$ – m = 9 – m.

Phương trình x$^{4}$ – 6x$^{2}$ + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình t$^{2}$ – 6t + m = 0 có hai nghiệm dương t$_{1}$, t$_{2}$ phân biệt, tức là $\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{t_1} + {t_2} > 0\\{t_1}{t_2} > 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}9 - m > 0\\6 > 0\\m > 0\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}m < 9\\m > 0\end{array} \right.$ nên 0 < m < 9.

Mà m là số nguyên nên m ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}.

Vậy có 8 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

>>

Đáp án đúng là: D

Xét phương trình x$^{2}$ – (2m – 3)x + m$^{2}$ – 3m = 0 là phương trình bậc hai một ẩn có:

∆ = [–(2m – 3)]$^{2}$ – 4.1.(m$^{2}$ – 3m) = 4m$^{2}$ – 12m + 9 – 4m$^{2}$ + 12m = 9 > 0 với mọi m.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$ với mọi m.

Theo định lí Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 3\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 3m\end{array} \right..$

⦁ Ta có: 1 < x$_{1}$ < x$_{2}$ < 6 suy ra 1 < x$_{1}$ + x$_{2}$ < 12

Do đó 1 < 2m – 3 < 12

Nên 4 < 2m < 15

Suy ra $2 < m < \frac{{15}}{2}.$

⦁ Ta có: 1 < x$_{1}$ < x$_{2}$ < 6 suy ra x$_{1}$ – 1 > 0 và x$_{2}$ – 1 > 0

Do đó (x$_{1}$ – 1)(x$_{2}$ – 1) > 0

x$_{1}$x$_{2}$ – x$_{1}$ – x$_{2}$ + 1 > 0

x$_{1}$x$_{2}$ – (x$_{1}$ + x$_{2}$) + 1 > 0

m$^{2}$ – 3m – (2m – 3) + 1 > 0

m$^{2}$ – 5m + 4 > 0

(m – 1)(m – 4) > 0

m – 1 < 0 hoặc m – 4 > 0 (do m – 4 < m – 1)

m < 1 hoặc m > 4.

⦁ Ta có: 1 < x$_{1}$ < x$_{2}$ < 6 suy ra x$_{1}$ – 6 < 0 và x$_{2}$ – 6 < 0

Do đó (x$_{1}$ – 6)(x$_{2}$ – 6) > 0

x$_{1}$x$_{2}$ – 6(x$_{1}$ – x$_{2}$) + 36 > 0

m$^{2}$ – 3m – 6(2m – 3) + 36 > 0

m$^{2}$ – 3m – 12m + 18 + 36 > 0

m$^{2}$ – 15m + 54 > 0

(m – 6)(m – 9) > 0

m – 6 < 0 hoặc m – 9 > 0 (do m – 9 < m – 6)

m < 6 hoặc m > 9.

Kết hợp 3 điều kiện, ta được: 4 < m < 6.

Vậy ta chọn phương án D.