10 bài tập Xác định góc giữa hai vectơ và tính tích vô hướng của hai vectơ có lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \widehat {DAB}$.

Dễ thấy $AB \bot AD \Rightarrow \widehat {DAB} = 90^\circ$. Vậy $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = 90^\circ$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow {B'C'} = \overrightarrow {BC}$.

Do đó $\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {B'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \widehat {ABC}$.

Mà tam giác ABC vuông tại B. Nên $\widehat {ABC} = 90^\circ \Rightarrow \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {B'C'} } \right) = 90^\circ$.

Đáp án đúng là: B

$\overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = 3.4.\cos 60^\circ = 6$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \widehat {BAC}$$\Leftrightarrow 6 = 4.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos 60^\circ$$\Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 3$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'D'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = 90^\circ$.

$\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 45^\circ$.

$\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {B'D'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right) = 90^\circ$.

$\left( {\overrightarrow {A'A} ,\overrightarrow {CB'} } \right) = \left( {\overrightarrow {C'C} ,\overrightarrow {CB'} } \right) = \left( {\overrightarrow {CE} ,\overrightarrow {CB'} } \right) = 135^\circ$ trong đó E là điểm đối xứng với C' qua C.

Đáp án đúng là: B

Gọi M là trung điểm CD.

Ta có $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} } \right).\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {CD}$.

Do tam giác ACD đều nên $AM \bot CD \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {CD} = 0$.

Và tam giác BCD đều nên BM CD $\Rightarrow \overrightarrow {BM} .\overrightarrow {CD} = 0$.

Vậy $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} } \right).\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {CD} = 0 \Rightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {CD}$.

Do đó $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = 90^\circ$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = - \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 120^\circ$.

Đáp án đúng là: A

Ta có

$\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right) = \widehat {SAB}$.

Xét tam giác SBA vuông tại B ta có $\tan \widehat {SAB} = \frac{{SB}}{{AB}} = \sqrt 3$ $\Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right) = 60^\circ$.

Đáp án đúng là: B

C. Giả sử cạnh của tứ diện là a.

D. Ta có $\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DM} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DM} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {DM} } \right|}} = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DM} }}{{a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}$.

A. Mặt khác $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}$

B. $= AB.AM.\cos 30^\circ - AB.AD.\cos 60^\circ$$= a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} - a.a.\frac{1}{2} = \frac{{3{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{{a^2}}}{4}$.

C. Do đó $\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DM} } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{6}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {EG} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {EF} + \overrightarrow {EH} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {EF} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {EH} = {\overrightarrow {AB} ^2} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = {a^2}$.

(vì $\overrightarrow {EH} = \overrightarrow {AD}$ và $\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AD}$ nên $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0$).