10 Bài tập Xác định góc giữa hai đường thẳng cho trước (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có:

Đường thẳng d$_{1}$: 2x – y – 10 = 0 có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{1}(2;-1)$.

Đường thẳng d$_{2}$: x – 3y + 9 = 0 có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{2}(1;-3)$.

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng. Khi đó:

$\cos α=|\cos ({\overrightarrow{n}}_{1},{\overrightarrow{n}}_{2})|=\frac{|{\overrightarrow{n}}_{1}\cdot {\overrightarrow{n}}_{2}|}{|{\overrightarrow{n}}_{1}|.|{\overrightarrow{n}}_{2}|}=\frac{|2\cdot 1+(-1)\cdot (-3)|}{\sqrt{{2}^{2}+{(-1)}^{2}}\cdot \sqrt{{1}^{2}+{(-3)}^{2}}}=\frac{5}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.$

Do đó α = 45°.

Vậy góc giữa hai đường thẳng d$_{1}$ và d$_{2}$ là 45°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng d$_{1}$ có vectơ chỉ phương ${\overrightarrow{u}}_{1}(2;2\sqrt{3})$.

Đường thẳng d$_{2}$ có vectơ chỉ phương ${\overrightarrow{u}}_{2}(0;1)$.

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng. Khi đó:

$\cos α=|\cos ({\overrightarrow{u}}_{1},{\overrightarrow{u}}_{2})|=\frac{|{\overrightarrow{u}}_{1}.{\overrightarrow{u}}_{2}|}{|{\overrightarrow{u}}_{1}|\cdot |{\overrightarrow{u}}_{2}|}=\frac{|2\cdot 0+2\sqrt{3}\cdot 1|}{\sqrt{{2}^{2}+{(2\sqrt{3})}^{2}}\cdot \sqrt{{0}^{2}+{1}^{2}}}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Do đó α = 30°.

Vậy góc giữa hai đường thẳng d$_{1}$ và d$_{2}$ là 30°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng d$_{1}$ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{1}(1;2)$.

Đường thẳng d$_{2}$ có vectơ chỉ phương ${\overrightarrow{u}}_{2}=(2;1)$ nên có một vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{2}(1;-2).$

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng. Khi đó:

$\cos α=|\cos ({\overrightarrow{n}}_{1},{\overrightarrow{n}}_{2})|=\frac{|{\overrightarrow{n}}_{1}\cdot {\overrightarrow{n}}_{2}|}{|{\overrightarrow{n}}_{1}|\cdot |{\overrightarrow{n}}_{2}|}=\frac{|1\cdot 1+2\cdot (-2)|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}.\sqrt{{1}^{2}+{(-2)}^{2}}}=\frac{3}{5}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng d$_{1}$: x + 2y – 2 = 0 có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{1}(1;2)$.

Đường thẳng d$_{2}$: x – y = 0 có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{2}(1;-1)$.

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng. Khi đó:

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng Δ$_{1}$ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{1}(1;-2)$, nên có một vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow{u}}_{1}(2;1)$.

Đường thẳng Δ$_{2}$ có vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow{u}}_{2}(-1;2)$.

Ta có: ${\overrightarrow{u}}_{1}\cdot {\overrightarrow{u}}_{2}=2\cdot (-1)+1\cdot 2=0$ suy ra góc giữa hai đường thẳng Δ$_{1}$ và Δ$_{2}$ là 90°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng d$_{1}$: 3x + 4y + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{1}(3;4)$.

Đường thẳng d$_{2}$: $\{\begin{matrix}x=15+12t \\ y=1+5t\end{matrix}$ có vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow{u}}_{2}(12;5)$ nên có một pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{2}(5;-12)$.

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng. Khi đó:

.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng d$_{1}$: (3 + m)x – (m – 1)y = 0 có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{1}(3+m;-m+1)$.

Đường thẳng d$_{2}$: (m – 2)x + (m + 1)y – 20 = 0 có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{2}(m-2;m+1)$.

Góc giữa hai đường thẳng bằng 90° nên ${\overrightarrow{n}}_{1}\cdot {\overrightarrow{n}}_{2}=0$, tức là:

(3 + m)(m – 2) + (1 – m)(m + 1) = 0

⇔ m$^{2}$ + m – 6 + 1 – m$^{2}$ = 0

⇔ m = 5

Vậy m = 5 là giá trị cần tìm.