10 Bài tập Xác định điều kiện cân bằng của hệ điện tích (có lời giải)

Mỗi quả cầu chịu tác dụng của 3 lực: trọng lực ${\rm{\vec P}}$; lực điện và lực căng ${\rm{\vec T}}$.

Muốn quả cầu cân bằng phải có: hoặc , nghĩa là hợp lực của $\vec P$ và phải trực đối với ${\rm{\vec T}}$.

Từ hình vẽ ta có: (1)

Vì góc $\alpha$ nhỏ nên ta có: ${\rm{tan}}\alpha = {\rm{sin}}\alpha = \frac{{\rm{a}}}{{2\ell }} = \frac{a}{{2.1{,}5}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $a = 0{,}12{\rm{\;m}}$.

Thử xét trạng thái cân bằng của điện tích dương q đặt tại một trong ba đỉnh của tam giác đều ABC (cạnh a, đỉnh C chẳng hạn). Lực đẩy của các điện tích q đặt tại hai đỉnh còn lại của tam giác lên điện tích đặt tại C có độ lớn là: $F = \frac{{{q^2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}{a^2}}}$

Hợp lực ${{\rm{\vec F}}_{\rm{d}}}$ của hai lực này có phương nằm trên đường phân giác của góc C, chiều hướng ra ngoài tam giác, độ lớn: ${F_d} = F\sqrt 3 = \frac{{{q^2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}{a^2}}}\sqrt 3$(1)

Muốn điện tích đặt tại C nằm cân bằng thì phải có một lực hút cân bằng với lực đẩy ${{\rm{\vec F}}_d}$. Điện tích Q do đó phải trái dấu với các điện tích q (Q phải mang điện tích âm) và phải nằm trên đường phân giác của góc C. Tương tự, muốn cho các điện tích q đặt tại các đỉnh A và B nằm cân bằng thì điện tích Q phải nằm trên các đường phân giác của góc A và B. Nghĩa là Q phải nằm tại trọng tâm của tam giác đều ABC và khoảng cách r từ Q đến C sẽ là: $r = \frac{2}{3}a \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

Độ lớn của lực ${\vec F_h}$ do Q tác dụng lên các điện tích q là: ${F_h} = \frac{{\left| {qQ} \right|}}{{4\pi {\varepsilon _0}{r^2}}}$(2)

Vì ${F_h} = {F_d}$ nên từ (1) và (2), dễ dàng tính được độ lớn của Q theo q: $Q = - \frac{q}{{\sqrt 3 }}{\rm{.\;}}$

a) Do ${q_1}{q_2} > 0$, nên để q$_{3}$ cân bằng thì q$_{3}$ phải nằm trong đoạn AB.

Ta có: ${\overrightarrow F _3} = {\overrightarrow F _{13}} + {\overrightarrow F _{23}} = \vec 0$.

$\Rightarrow {F_{13}} = {F_{23}} \Leftrightarrow k\frac{{\left| {{q_1}{q_3}} \right|}}{{\varepsilon A{C^2}}} = k\frac{{\left| {{q_2}{q_3}} \right|}}{{\varepsilon B{C^2}}} \Leftrightarrow \frac{6}{{A{C^2}}} = \frac{{54}}{{B{C^2}}} \Leftrightarrow 3AC - BC = 0.$

Mà $AC + BC = AB = 6{\rm{\;cm}} \Rightarrow AC = 1{,}5{\rm{\;cm}}$ và $BC = 4{,}5{\rm{\;cm}}$.

Vậy điểm C cách điểm A và B lần lượt là 1,5 cm và 4,5 cm.

b) Vì ${q_1}{q_2} > 0$, nên lực tác dụng lên q$_{2}$ là lực đẩy. Vậy để hệ cân bằng thì ${q_3} < 0$.

${F_{12}} = {F_{32}} \Leftrightarrow k\frac{{\left| {{q_1}{q_2}} \right|}}{{\varepsilon A{B^2}}} = k\frac{{\left| {{q_2}{q_3}} \right|}}{{\varepsilon B{C^2}}} \Leftrightarrow \frac{{\left| {{q_1}} \right|}}{{A{B^2}}} = \frac{{\left| {{q_3}} \right|}}{{B{C^2}}}$

$\Rightarrow \left| {{q_3}} \right| = \left| {{q_1}} \right|\frac{{B{C^2}}}{{A{B^2}}} = 6 \cdot {\left( {\frac{{4{,}5}}{6}} \right)^2} = 3{,}375\mu {\rm{C}}$

Vậy điện tích của q$_{3}$ là $- 3{,}375\mu {\rm{C}}$.

Vì q$_{1}$ và q$_{2}$ cùng hút hoặc cùng đẩy q$_{0}$ và lực của q$_{2}$ mạnh hơn nên muốn q$_{0}$ nằm cân bằng thì hệ phải bố trí như hình vẽ. Về độ lớn lực tác dụng lên q$_{0}$ thì phải bằng nhau: $k\frac{|{q}_{1}{q}_{0}|}{{r}_{10}^{2}}=k\frac{|{q}_{2}.{q}_{0}|}{{r}_{20}^{2}}\Rightarrow {r}_{20}=2{r}_{10}\overset{{r}_{20}+{r}_{10}=r}{\rightarrow }\{\begin{matrix}{r}_{10}=\frac{r}{3} \\ {r}_{20}=\frac{2r}{3}\end{matrix}$

a) Khi hai điện tích q$_{1}$ = q và q$_{2}$ = 4q được giữ cố định, q$_{0}$ đặt ở vị trí nói trên với dấu và độ lớn tùy ý thì hệ luôn cân bằng.

b) Khi hai điện tích q$_{1}$ = q và q$_{2}$ = 4q để tự do, q$_{0}$ đặt ở vị trí nói trên muốn hệ luôn cân bằng thì q$_{0}$ phải trái dấu với hai điện tích nói trên và các lực tác dụng lên q$_{2}$ có độ lớn bằng nhau: $k\frac{{\left| {{q_1}{q_0}} \right|}}{{r_{12}^2}} = k\frac{{\left| {{q_2}.{q_0}} \right|}}{{r_{02}^2}} \Rightarrow {q_0} = - \frac{4}{9}q$

Đáp án đúng là D

Để hệ nằm cân bằng thì ba ion nằm trên đường thẳng, ion dương cách đều hai ion âm như hình vẽ và lực tác dụng lên mỗi ion âm phải cân bằng nhau.

$k\frac{{\left| {{q_1}{q_2}} \right|}}{{{a^2}}} = k\frac{{\left| {{q_0}{q_2}} \right|}}{{{{\left( {0{,}5a} \right)}^2}}} \Rightarrow \left| {{q_1}} \right| = 4\left| {{q_0}} \right| \Rightarrow {q_1} = {q_2} = - 4e$

Đáp án đúng là B

Vì q$_{1}$ và q$_{2}$ đặt cố định nên muốn q$_{0}$ cân bằng thì ba điện tích đặt thẳng hàng, dấu “xen kẽ nhau”, q$_{0}$ phải ở q$_{0}$ sẽ chị tác dụng hai lực ngược hướng nhau và độ lớn bằng nhau:

$k\frac{{\left| {{q_1}{q_0}} \right|}}{{r_{10}^2}} = k\frac{{\left| {{q_2}{q_0}} \right|}}{{r_{20}^2}} \Rightarrow {r_{10}} = 3{r_{20}} \Leftrightarrow {r_{20}} + 10 = 3{r_{20}} \Rightarrow {r_{20}} = 5\left( {cm} \right)$

Đáp án đúng là D

Muốn q$_{2}$ nằm cân bằng thì hệ phải bố trí như hình vẽ. về độ lớn lực tác dụng lên q$_{2}$ thì phải bằng nhau: $k\frac{{\left| {{q_1}{q_0}} \right|}}{{r_{10}^2}} = k\frac{{\left| {{q_2}{q_0}} \right|}}{{r_{20}^2}} \Rightarrow {r_{10}} - 3{r_{20}} \Leftrightarrow {r_{20}} = 10 = 3{r_{20}} \Rightarrow {r_{20}} = 5\left( {cm} \right)$

Gọi M là điểm mà ${{\rm{\vec F}}_{\rm{M}}} = {{\rm{\vec F}}_{\rm{A}}} + {{\rm{\vec F}}_{\rm{B}}}$ = 0

Giả sử Q>0 thì các lực tác dụng lên M như hình vẽ.

Để ${{\rm{\vec F}}_{\rm{M}}}$ = 0 thì F$_{A}$ = F$_{B}$ => $\frac{{{\rm{q}}.{\rm{Q}}}}{{{\rm{A}}{{\rm{M}}^2}}} = \frac{{4{\rm{q}}.{\rm{Q}}}}{{{{\left( {{\rm{r}} - {\rm{AM}}} \right)}^2}}}$ => (r - AM)$^{2}$= 4AM$^{2}$ => AM = $\frac{{\rm{r}}}{3}$

Nếu Q < 0 thì 2 lực ${{\rm{\vec F}}_{\rm{A}}}$ và ${{\rm{\vec F}}_{\rm{B}}}$ cùng đổi chiều nhưng ${{\rm{\vec F}}_{\rm{M}}}$ = 0

=> Điện tích tại M tùy ý (có thể âm hoặc dương)

Từ giả thuyết ta vẽ được hình bên.

Khi hệ cân bằng thì tan15$^{0}$ = $\frac{{\rm{F}}}{{\rm{P}}}$ => F = P.tan15$^{0}$ = mg.tan15$^{0}$ ≈ 26.10$^{-5}$ N

Do 1 điện tích mà truyền cho hai quả cầu => điện tích mỗi quả q$_{1}$ = q$_{2}$ = 0,5Q

Từ hình ta có sin15 = $\frac{{\rm{r}}}{{2{\rm{l}}}}$ => r = 2ℓ.sin15 ≈ 5,2 cm

Khi hệ cân bằng thì tan15$^{0}$ = $\frac{{\rm{F}}}{{\rm{P}}}$ => F = P.tan15$^{0}$ => 9.10$^{9}$.$\frac{{{{\rm{Q}}^2}}}{{4{{\rm{r}}^2}}}$ = mg.tan15

Hay 9.10$^{9}$.$\frac{{{{\rm{Q}}^2}}}{{4.0,{{052}^2}}}$ = 0,1.10$^{-3}$.10.tan15 => Q = 1,8.10$^{-8}$ C = 18 nC