10 Bài tập Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Gọi ${\overrightarrow{n}}_{d}(a;b)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d (với a$^{2}$ + b$^{2}$≠ 0).

Đường thẳng d đi qua A(–2; 0) và có một vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{d}(a;b)$ nên có phương trình là: a(x + 2) + b(y – 0) = 0 tức là ax + by + 2a = 0.

Đường thẳng Δ: x + 3y – 3 = 0 có một vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{Δ}(1;3).$

Theo giả thiết d tạo với Δ một góc 45° nên:

$\cos (d,Δ)=\cos 45^{\circ}\Leftrightarrow \frac{|a+3b|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}\cdot \sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow 2|a+3b|=\sqrt{20}\cdot \sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$

$\Leftrightarrow 5({a}^{2}+{b}^{2})={(a+3b)}^{2}\Leftrightarrow 2{a}^{2}-3ab-2{b}^{2}=0\Leftrightarrow [\begin{matrix}a=2b \\ a=-\frac{1}{2}b\end{matrix}$.

Với a = 2b, chọn b = 1 suy ra a = 2, ta được đường thẳng cần tìm là 2x + y + 4 = 0.

Với $a=-\frac{1}{2}b$, chọn b = –2 suy ra a = 1, ta được đường thẳng cần tìm là x – 2y + 2 = 0 (loại do hệ số góc dương).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi ${\overrightarrow{n}}_{d}(a;b)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d (với a$^{2}$ + b$^{2}$≠ 0).

Đường thẳng đi qua điểm A(2; 0) và có ${\overrightarrow{n}}_{d}(a;b)$ là vectơ pháp tuyến nên có phương trình là: a(x – 2) + b(y – 0) = 0 hay ax + by – 2a = 0.

Trục hoành Ox có phương trình y = 0 có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{d}(a;b)$

Đường thẳng d tạo với trục hoành một góc 45° nên ta có:

$\cos 45^{\circ}=\frac{|a\cdot 0+b\cdot 1|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}\cdot \sqrt{{0}^{2}+{1}^{2}}}\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{|b|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$

⇔ 2(a$^{2}$ + b$^{2}$) = 4b$^{2}$

⇔ a$^{2}$ – b$^{2}$ = 0

⇔ a = b hoặc a = –b.

Vậy có hai đường thẳng đi qua A(2; 0) và tạo với trục hoành một góc 45°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Do d tạo với trục Ox một góc 60° nên có hệ số góc k = tan 60° = $\sqrt{3}\sqrt{3}$.

Phương trình đường thẳng d là: y =$\sqrt{3}$(x + 1) + 2

Hay $\sqrt{3}$x – y +$\sqrt{3}$+ 2 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng d: y = kx hay kx – y = 0 có một vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{d}=(k;-1)$.

Đường thẳng ∆: y = x hay x – y = 0 có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{Δ}=(1;-1).$

Do góc giữa hai đường thẳng là 60° nên: $\cos 60^{\circ}=\frac{|k\cdot 1+(-1)\cdot (-1)|}{\sqrt{{k}^{2}+1}\cdot \sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}=\frac{|k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}\cdot \sqrt{2}}\Leftrightarrow {k}^{2}+1=2({k}^{2}+2k+1)$

$\Leftrightarrow {k}^{2}+4k+1=0$

Tổng hai giá trị của k là $\frac{-4}{1}=-4.$