10 bài tập Vị trí tương đối của hai đường thẳng có lời giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} = \left( {2;1; - 2} \right),\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = \left( { - 2; - 1;2} \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow {{u_{{d_1}}}} = - \overrightarrow {{u_{{d_2}}}}$.

Do đó d$_{1}$ song song hoặc trùng với d$_{2}$.

Lấy điểm M(1; 0; −2) d$_{1}$. Thay M vào d$_{2}$ ta được: $\frac{{1 + 2}}{{ - 2}} = \frac{{0 - 1}}{{ - 1}} = \frac{{ - 2}}{2}$ (vô lí).

Vậy d$_{1}$ // d$_{2}$.

Đáp án đúng là: C

Chọn M(1; 2; 3), N(0; 0; 5) là hai điểm lần lượt thuộc đường thẳng d$_{1}$ và d$_{2}$.

Ta có $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;3;4} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;2; - 2} \right)$lần lượt là vectơ chỉ phương của d$_{1}$; d$_{2}$.

Do $\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 0$ nên d$_{1}$ d$_{2}$.

Mặt khác $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {MN} = 0$ nên d$_{1}$ cắt d$_{2}$.

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {2;3;2} \right)$ và đi qua điểm M(2; −4; 1).

Đường thẳng d' có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {u'} = \left( {4;6;4} \right)$ và đi qua điểm M'(0; 1; −1).

Vì $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow {u'}$ cùng phương và M d' nên d và d' song song với nhau.

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng d, d' có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;1; - 2} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 4; - 2;4} \right)$.

Chọn M(1; −3; 4) d.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_2}} = - 2\overrightarrow {{u_1}} \\M \notin d'\end{array} \right. \Rightarrow d//d'$.

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng d đi qua M(6; 8; 11) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {3;4;6} \right)$.

Đường thẳng d' đi qua N(7; 10; 6) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {4;6;1} \right)$.

Ta có $\left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right] = \left( { - 32;21;2} \right)$ và $\overrightarrow {MN} = \left( {1;2; - 5} \right)$.

Do đó $\left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right].\overrightarrow {MN} = - 32 + 42 - 10 = 0$.

Vậy d và d' cắt nhau.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 1;0} \right)$ và $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {0;0;1} \right)$. Suy ra $\overrightarrow {{u_1}}$ và $\overrightarrow {{u_2}}$ không cùng phương.

Do đó d$_{1}$ và d$_{2}$ chéo nhau hoặc cắt nhau.

Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}t = 0\\ - t = 2\\1 = t'\end{array} \right.$ vô nghiệm. Do đó d$_{1}$ và d$_{2}$ chéo nhau.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;1; - 1} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;2; - 2} \right)$ lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng d$_{1}$; d$_{2}$.

Ta có $\overrightarrow {{u_2}} = 2\overrightarrow {{u_1}}$ nên đường thẳng d$_{1}$ và d$_{2}$ song song hoặc trùng nhau.

Lấy M(1; 2; 3) d$_{1}$, thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d$_{2}$ ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}1 = 1 + 2t'\\2 = - 1 + 2t'\\3 = 2 - 2t'\end{array} \right.$ vô nghiệm. Vậy M d$_{2}$ nên hai đường thẳng này song song.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng d$_{1}$ đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;3;4} \right)$.

Đường thẳng d$_{2}$ đi qua điểm B(3; 5; 7) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {4;6;8} \right)$.

Vì $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_2}} = 2\overrightarrow {{u_1}} \\A \in {d_2}\end{array} \right.$ nên d$_{1}$ ≡ d$_{2}$.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng d$_{1}$ đi qua M(1; 2; 0) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1;2;3} \right)$.

Đường thẳng d$_{2}$ đi qua N(1; 3; 1) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1; - 2;1} \right)$.

Ta có $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {8;4;0} \right) \ne \overrightarrow 0 ,\overrightarrow {MN} = \left( {0;1;1} \right)$ $\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {MN} = 4 \ne 0$.

Nên suy ra d$_{1}$ và d$_{2}$ chéo nhau.

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng d$_{1}$ đi qua A(1; 3; 7) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;4;1} \right)$.

Đường thẳng d$_{2}$ đi qua B(6; −2; −1) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {3;1; - 2} \right)$.

Dễ thấy $\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}}$ không cùng phương

Có $\overrightarrow {AB} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,{u_2}} \right] = 0$ nên d$_{1}$ và d$_{2}$ cùng nằm trên một mặt phẳng.

Mà $\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 8 \ne 0$. Do đó d$_{1}$ và d$_{2}$ cắt nhau.