10 bài tập Vận dụng tọa độ của vectơ để giải quyết một số bài toán thực tiễn có lời giải

Đáp án đúng là: A

A. Theo đề bài ta có tọa độ của ra đa là (0; 0; 0), tọa độ của tàu thám hiểm là (30; 25; −15).

B. Khi đó khoảng cách giữa ra đa và tàu thám hiểm là:

C. $d = \sqrt {{{\left( {30 - 0} \right)}^2} + {{\left( {25 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 15 - 0} \right)}^2}} = 5\sqrt {70} \approx 41{,}8$.

D. Vậy khoảng cách giữa ra đa và tàu thám hiểm là 41,8 km.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Theo đề ta có A(1,5; 1; −0,5); C(1; 3; 2); $\overrightarrow {AC} = \left( { - 0{,}5;2;2{,}5} \right)$.

Gọi $B\left( {x;y;0} \right)$$\Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {x - 1{,}5;y - 1;0{,}5} \right)$.

Vì $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC}$ cùng phương nên $\frac{{x - 1{,}5}}{{ - 0{,}5}} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{0{,}5}}{{2{,}5}} = \frac{1}{5}$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{7}{5}\\y = \frac{7}{5}\end{array} \right.$.

Vậy $B\left( {\frac{7}{5};\frac{7}{5};0} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, khi đó ta có điểm A(4; 0; 3) và điểm $B\left( {0;3;\frac{5}{2}} \right)$

Suy ra $\overrightarrow {AB} = \left( { - 4;3; - \frac{1}{2}} \right)$. Do đó độ dài đoạn thẳng AB = 5,025.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Quãng đường mà máy bay bay được sau 30 phút kể từ lúc ra đa phát hiện là:

$\frac{1}{2}MQ = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {1400 - 1000} \right)}^2} + {{\left( {800 - 600} \right)}^2} + {{\left( {16 - 4} \right)}^2}} \approx 224$ km.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {5; - 3;8} \right)$$\Rightarrow AB = \sqrt {{5^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {8^2}} \approx 10$.

Vậy dây cáp có chiều dài tối thiểu là 10 mét.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Theo đề ta có $\overrightarrow {MN} = \frac{3}{4}\overrightarrow {MQ}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 1000 = \frac{3}{4}\left( {1400 - 1000} \right)\\b - 600 = \frac{3}{4}\left( {800 - 600} \right)\\c - 14 = \frac{3}{4}\left( {18 - 14} \right)\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1300\\b = 750\\c = 17\end{array} \right.$.

Do đó a + b + c = 2067.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow {SA} = \left( { - 2;0; - 4} \right),\overrightarrow {SB} = \left( {1;\sqrt 3 ; - 4} \right),\overrightarrow {SC} = \left( {1; - \sqrt 3 ;4} \right)$ $\Rightarrow SA = SB = SC = \sqrt {20}$.

Lại có $\overrightarrow {AB} = \left( {3;\sqrt 3 ;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {3; - \sqrt 3 ;0} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 2\sqrt 3 ;0} \right)$ $\Rightarrow AB = AC = BC = \sqrt {12}$.

Suy ra hình chóp S.ABC đều có đường cao là SO = 4 với O(0; 0; 0) là trọng tâm tam giác ABC.

Mặt khác $\overrightarrow {{F_1}} = k\overrightarrow {SA} = \left( { - 2k;0; - 4k} \right)$, $\overrightarrow {{F_2}} = k\overrightarrow {SB} = \left( {k;\sqrt 3 k; - 4k} \right)$,

$\overrightarrow {{F_3}} = k\overrightarrow {SC} = \left( {k; - \sqrt 3 k; - 4k} \right)$$\Rightarrow \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \left( {0;0; - 12k} \right)$.

Mà $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow P = \left( {0;0; - 30} \right)$ nên −12k = −30 $\Leftrightarrow k = \frac{5}{2}$.

Suy ra $\overrightarrow {{F_1}} = \left( { - 5;0; - 10} \right),\overrightarrow {{F_2}} = \left( {\frac{5}{2};\frac{{5\sqrt 3 }}{2}; - 10} \right)$. Vậy $\overrightarrow {{F_1}} \cdot \overrightarrow {{F_2}} = \frac{{175}}{2} = 87{,}5$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow {E{A_1}} = \left( {0;1; - 8} \right),\overrightarrow {E{A_2}} = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \frac{1}{2}; - 8} \right),\overrightarrow {E{A_3}} = \left( {\frac{{ - \sqrt 3 }}{2}; - \frac{1}{2}; - 8} \right)$

Nên $E{A_1} = E{A_2} = E{A_3} = \sqrt {65}$.

Mặt khác $\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|$ vì đèn cân bằng và trọng lực của đèn tác dụng đều lên 3 chân của giá đỡ.

Do đó $\overrightarrow {{F_1}} = k\overrightarrow {E{A_1}} = \left( {0;k; - 8k} \right),\overrightarrow {{F_2}} = k\overrightarrow {E{A_2}} = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}k; - \frac{1}{2}k; - 8k} \right)$,

$\overrightarrow {{F_3}} = k\overrightarrow {E{A_3}} = \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}k; - \frac{1}{2}k; - 8k} \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \left( {0;0; - 24k} \right)$.

Mà $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow P = \left( {0;0; - 240} \right)$ Þ −24k = −240 Þ k =10.

Vậy $\overrightarrow {{F_1}} = \left( {0;10; - 80} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Với hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với một góc phòng và mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt sàn, đơn vị đo được lấy theo mét.

Phòng học thiết kế dạng hình hộp chữ nhật OBCD. A'B'C'D' với A'B'C'D' là hình chữ nhật.

Gọi M là giao điểm của hai đường chéo A'C' và B'D' nên M là trung điểm của A'C' với A'(0; 0; 4), C'(8; 10; 4).

Vì đèn được treo lại chính giữa trần nhà của phòng học nên điểm treo bóng đèn trùng với điểm M.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_{A'}} + {x_{C'}}}}{2} = 4\\{y_M} = \frac{{{y_{A'}} + {y_{C'}}}}{2} = 5\\{z_M} = \frac{{{z_{A'}} + {z_{C'}}}}{2} = 4\end{array} \right.$ nên M(4; 5; 4).

Vậy khoảng cách từ điểm treo bóng đèn đến góc phòng học là $OM = \sqrt {{4^2} + {5^2} + {4^2}} = \sqrt {57} \approx 7{,}55$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ

Do giả thiết khối chóp tứ giác đều S.ABCD nên ABCD là hình vuông.

Có A'(0; 0; 0), A(0; 0; 1), $B\left( {0;\frac{1}{2};1} \right)$, $B'\left( {0;\frac{1}{2};0} \right),D'\left( {\frac{1}{2};0;0} \right)$, $D\left( {\frac{1}{2};0;1} \right)$.

I là trung điểm của BD nên $I\left( {\frac{1}{4};\frac{1}{4};1} \right)$.

Ta có $BD = \frac{{\sqrt 2 }}{2};IB = ID = \frac{{\sqrt 2 }}{4};SI = \sqrt {S{B^2} - I{B^2}} = \sqrt {0,{6^2} - {{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {94} }}{{20}}$.

Vậy $S\left( {\frac{1}{4};\frac{1}{4};\frac{{\sqrt {94} }}{{20}} + 1} \right)$. Suy ra a + b + c ≈ 1,98.