10 bài tập Vận dụng tọa độ của vectơ để giải quyết một số bài toán liên quan đến thực tiễn có lời giải

Đáp án đúng là: B

Tọa độ điểm B(6,7; 6,1; 1,55).

Đáp án đúng là: D

Tam giác OMH vuông tại H, có OH = OM.cos48° ≈ 33,5; OC = MH = OM.sin48° ≈ 37,2.

Tam giác OAH vuông tại A, có OA = OH.cos64° ≈ 14,7; OB = AH = OH.sin64° ≈ 30,1.

Suy ra $\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OH} = \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = 14{,}7\overrightarrow i + 30{,}1\overrightarrow j + 37{,}2\overrightarrow k$.

Vậy M(14,7; 30,1; 37,2).

Dùng dữ liệu sau để trả lời các câu hỏi ở bài 3, bài 4, bài 5

Cần trục chân đế là kiểu cột quay được sử dụng để phục vụ công việc xếp dỡ hàng hóa chủ yếu ngoài các cảng bến, bãi (hình ảnh minh họa). Ta chọn hệ trục Oxyz thỏa mãn trục Ox trùng với trục chân đế, trục Oy vuông góc với trục Ox và trục Oz trùng với trục cần cẩu (theo đơn vị mét, như hình vẽ). Gọi M là vị trí tại đỉnh cần cẩu, H là hình chiếu của M lên (Oxy). Biết tay cần KM của cần trục dài 50m, trục cần OK dài 50m, $\left( {\overrightarrow k ,\overrightarrow {KM} } \right) = 60^\circ ;\left( {\overrightarrow i ,\overrightarrow {OH} } \right) = 45^\circ$.

Đáp án đúng là: C

Ta gọi E là hình chiếu của M lên Oz.

Ta có EK = MK.cos60° = 50.cos60° = 25 m z$_{M}$ = OE = OK + KE = 50 + 25 = 75 m.

Đáp án đúng là: C

Ta gọi E là hình chiếu của M lên Oz.

Ta có ME = MK.sin60° = $50.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 25\sqrt 3$. Suy ra $OH = ME = 25\sqrt 3$ m.

Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của M lên Ox, Oy.

Vì $\left( {\overrightarrow i ,\overrightarrow {OH} } \right) = 45^\circ \Rightarrow OP = OQ = OH.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{25\sqrt 6 }}{2}$.

Vậy điểm $H\left( {\frac{{25\sqrt 6 }}{2};\frac{{25\sqrt 6 }}{2};0} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Vì $H\left( {\frac{{25\sqrt 6 }}{2};\frac{{25\sqrt 6 }}{2};0} \right)$ và OE = 75 nên $M\left( {\frac{{25\sqrt 6 }}{2};\frac{{25\sqrt 6 }}{2};75} \right)$.

Mà K Oz nên K(0; 0; 50).

Vậy $\overrightarrow {KM} = \left( {\frac{{25\sqrt 6 }}{2};\frac{{25\sqrt 6 }}{2};25} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Gọi tọa độ điểm A(x$_{A}$; y$_{A}$; z$_{A}$).

Vì một nửa chiều dài của sân là 9 m nên x$_{A}$= 9.

Do chiều rộng của sân là 9 m nên y$_{A}$ = 9.

Điểm A (Oxy) nên z$_{A}$ = 0.

Do đó tọa độ điểm A(9; 9; 0).

Độ dài đoạn thẳng AB = 2,24 m nên B(9; 9; 2,24).

Vậy ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {0;0;2{,}24} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Máy bay đang ở độ cao là 9 km.

Đáp án đúng là: B

Tọa độ của máy bay là (150; 300; 9).

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow {AB} = 4\overrightarrow i ;\overrightarrow {AD} = 8\overrightarrow j ;\overrightarrow {AA'} = 10\overrightarrow k$.

Mà $\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = 4\overrightarrow i + 8\overrightarrow j + 10\overrightarrow k$.

Do đó $C'\left( {4;8;10} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Vì nền nhà là hình chữ nhật nên OABC là hình chữ nhật, suy ra x$_{A}$ = x$_{B}$ = 4; y$_{C}$ = y$_{B}$ = 5.

Do điểm A nằm trên trục Ox nên tọa độ điểm A(4; 0; 0); điểm C nằm trên trục Oy nên tọa độ điểm C(0; 5; 0).

Tường nhà là hình chữ nhật nên OCHE là hình chữ nhật, suy ra y$_{H}$ = y$_{C}$ = 5; z$_{H}$ = z$_{E}$ = 3.

Do H nằm trên mặt phẳng (Oyz) nên tọa độ điểm H(0; 5; 3).

Vậy $\overrightarrow {AH} = \left( { - 4;5;3} \right)$.