10 Bài tập Vận dụng tính chất của phép cộng phân thức, quy tắc dấu ngoặc để rút gọn biểu thức (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Ta có P $= \frac{{x + y}}{{{x^2} + xy + {y^2}}} - \frac{{3xy}}{{{x^3} - {y^3}}} + \frac{1}{{x - y}}$

$= \frac{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}} - \frac{{3xy}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}} + \frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}$

$= \frac{{{x^2} - {y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}} - \frac{{3xy}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}} + \frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}$

$= \frac{{{x^2} - {y^2} - 3xy + {x^2} + xy + {y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}} = \frac{{ - 2xy}}{{{x^3} - {y^3}}}$

Do đó ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: A

Ta có $P = \frac{{{x^2} + x}}{{{x^3} + {x^2} + x + 1}} + \frac{1}{{{x^2} + 1}} = \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{{x^2} + 1}}$

$= \frac{x}{{{x^2} + 1}} + \frac{1}{{{x^2} + 1}} = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 1}}$

Do đó ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: B

Ta có $A = \frac{1}{{1 - x}} + \frac{1}{{1 + x}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}}$

$= \frac{{1 + x}}{{1 - {x^2}}} + \frac{{1 - x}}{{1 - {x^2}}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}}$

$= \frac{2}{{1 - {x^2}}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}}$

$= \frac{{2\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{1 - {x^4}}} + \frac{{2\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{1 - {x^4}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}}$

$= \frac{{2 + 2{x^2} + 2 - 2{x^2}}}{{1 - {x^4}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}}$

$= \frac{4}{{1 - {x^4}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} = \frac{{4\left( {1 + {x^4}} \right)}}{{1 - {x^8}}} + \frac{{4\left( {1 - {x^4}} \right)}}{{1 - {x^8}}}$

$= \frac{{4 + 4{x^4} + 4 - 4{x^4}}}{{1 - {x^8}}} = \frac{8}{{1 - {x^8}}}$.

Do đó ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\frac{1}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)}} + \frac{1}{{\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} + \frac{1}{{\left( {z - x} \right)\left( {x - y} \right)}}$

$= \frac{{z - x}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} + \frac{{x - y}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} + \frac{{y - z}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}$

$= \frac{{z - x + x - y + y - z}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}$

$= \frac{0}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} = 0$

Do đó ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: A

Ta có

$P = \frac{2}{{{x^2} - x}} + \frac{2}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{4x}}{{1 - {x^3}}}$

$= \frac{2}{{x\left( {x - 1} \right)}} + \frac{2}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{4x}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}$

$= - \frac{2}{{x\left( {1 - x} \right)}} + \frac{2}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{4x}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}$

$= - \frac{{2\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{x\left( {1 - x} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{{2x\left( {1 - x} \right)}}{{x\left( {1 - x} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{{4x.x}}{{x\left( {1 - x} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}$

$= - \frac{{2{x^2} + 2x + 2}}{{x\left( {1 - {x^3}} \right)}} + \frac{{2x - 2{x^2}}}{{x\left( {1 - {x^3}} \right)}} + \frac{{4{x^2}}}{{x\left( {1 - {x^3}} \right)}}$

$= \frac{{ - 2{x^2} - 2x - 2 + 2x - 2{x^2} + 4{x^2}}}{{x\left( {1 - {x^3}} \right)}}$

$= - \frac{2}{{x\left( {1 - {x^3}} \right)}}$$= \frac{2}{{x\left( {{x^3} - 1} \right)}}$.

Do đó ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: C

Ta có:

$P = \frac{{{x^2}}}{{x + 1}} + \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{x} + \frac{{x + 2}}{{{x^2} + x}}$

$= \frac{{{x^2}.x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{x + 2}}{{x\left( {x + 1} \right)}}$

$= \frac{{{x^3}}}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{2x - 2}}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{x + 2}}{{x\left( {x + 1} \right)}}$

$= \frac{{{x^3} + 2{x^2} - 2 + x + 2}}{{x\left( {x + 1} \right)}}$

$= \frac{{{x^3} + 2{x^2} + x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}}$

$= \frac{{x{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{x\left( {x + 1} \right)}}$= x + 1

Do đó ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: D

Ta có

$A = \frac{y}{{{x^2} - xy}} + \frac{x}{{{y^2} - xy}} = \frac{y}{{{x^2} - xy}} - \frac{x}{{xy - {y^2}}}$

$= \frac{y}{{x\left( {x - y} \right)}} - \frac{x}{{y\left( {x - y} \right)}} = \frac{{{y^2}}}{{xy\left( {x - y} \right)}} - \frac{{{x^2}}}{{y\left( {x - y} \right)}}$

$= \frac{{{y^2} - {x^2}}}{{xy\left( {x - y} \right)}} = - \frac{{{x^2} - {y^2}}}{{xy\left( {x - y} \right)}} = - \frac{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}{{xy\left( {x - y} \right)}}$

$= - \frac{{x + y}}{{xy}}$

Do đó ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: B

Ta có:

$B = \frac{1}{{{x^2} + xy}} + \frac{2}{{{y^2} - {x^2}}} + \frac{1}{{xy - {x^2}}}$

$= \frac{1}{{x\left( {x + y} \right)}} + \frac{2}{{\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}} - \frac{1}{{x\left( {x - y} \right)}}$

$= \frac{{x - y}}{{x\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}} + \frac{{2x}}{{x\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}} - \frac{{x + y}}{{x\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}}$

$= \frac{{x - y + 2x - x - y}}{{x\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}} = \frac{{2x - 2y}}{{x\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}} = \frac{{2\left( {x - y} \right)}}{{x\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}}$

$= \frac{2}{{x\left( {x + y} \right)}}$

Do dó ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: B

Ta có:

$\frac{{4 - {x^2}}}{{x - 3}} + \frac{{2x - 2{x^2}}}{{3 - x}} + \frac{{5 - 4x}}{{x - 3}}$

$= \frac{{4 - {x^2}}}{{x - 3}} - \frac{{2x - 2{x^2}}}{{x - 3}} + \frac{{5 - 4x}}{{x - 3}}$

$= \frac{{4 - {x^2} - 2x + 2{x^2} + 5 - 4x}}{{x - 3}}$

$= \frac{{{x^2} - 6x + 9}}{{x - 3}} = \frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{x - 3}} = x - 3$

Do đó ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$\frac{2}{{x + 2}} + \frac{{ - 4}}{{2 - x}} + \frac{{5x + 2}}{{4 - {x^2}}}$

$= \frac{{2\left( {2 - x} \right)}}{{\left( {2 + x} \right)\left( {2 - x} \right)}} + \frac{{ - 4\left( {2 + x} \right)}}{{\left( {2 + x} \right)\left( {2 - x} \right)}} + \frac{{5x + 2}}{{\left( {2 + x} \right)\left( {2 - x} \right)}}$

$= \frac{{4 - 2x}}{{\left( {2 + x} \right)\left( {2 - x} \right)}} + \frac{{ - 8 - 4x}}{{\left( {2 + x} \right)\left( {2 - x} \right)}} + \frac{{5x + 2}}{{\left( {2 + x} \right)\left( {2 - x} \right)}}$

$= \frac{{4 - 2x - 8 - 4x + 5x + 2}}{{\left( {2 + x} \right)\left( {2 - x} \right)}} = \frac{{ - x - 2}}{{\left( {2 + x} \right)\left( {2 - x} \right)}} = \frac{{ - \left( {x + 2} \right)}}{{\left( {2 + x} \right)\left( {2 - x} \right)}}$

$= \frac{{ - 1}}{{2 - x}} = \frac{1}{{x - 2}}$

Do đó ta chọn đáp án A.