10 bài tập Vận dụng phương trình mặt cầu vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tiễn có lời giải

Đáp án đúng là: D

Do quả cầu nằm trên mặt sàn nha đa năng nên mặt ngoài của quả cầu tiếp xúc với mặt phẳng Oxy.

Ta có d(I, (Oxy)) = R = 50.

Vậy mặt ngoài của quả cầu (S) có phương trình là

(x – 12)$^{2}$ + (y – 20)$^{2}$ + (z – 50)$^{2}$ = 50$^{2}$.

Đáp án đúng là: A

Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sáng trong không gian là: (x – 1)$^{2}$ + (y – 5)$^{2}$ + (z – 5)$^{2}$ = 25.

Ta có $\overrightarrow {IM} = \left( {2;3;2} \right),\overrightarrow {IA} = \left( {6;9;6} \right) = 3\overrightarrow {IM}$

Và $IM = \sqrt {{{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {8 - 5} \right)}^2} + {{\left( {7 - 5} \right)}^2}} = \sqrt {17} < 5$ nên điểm M nằm trong mặt cầu.

Vậy người đi biển đi qua điểm M mà vẫn thuộc vùng phủ sáng.

>

Đáp án đúng là: C

Ta thấy quỹ đạo của Rađa là một khối cầu giới hạn bởi mặt cầu (S) có tâm là vị trí Rađa có tọa độ là O(0; 0; 0) và bán kính R = 2.

Do đó ta có phương trình mặt cầu (S): x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ = 4.

Vật thể bắt đầu bị phát hiện khi nó nằm trong hoặc trên mặt cầu (S).

Trong các đáp án trên thì ta thấy đáp án C thỏa mãn phương trình mặt cầu (S) các đáp án còn lại đều nằm ngoài (S).

Đáp án đúng là: B

Ta có IA = 3 > 2, $IB = \sqrt 3 < 2,IC = \sqrt {13} > 2,ID = 6 > 2$.>

Vậy người đứng tại điểm B nằm trong mặt cầu sẽ sử dụng được dịch vụ của trạm thu phát sóng điện thoại di động.

Đáp án đúng là: C

Tâm của mặt cầu là I(100; 300; 2000),

Bán kính $R = \sqrt {{{100}^2} + {{300}^2} + {{2000}^2} - 4099900} = 10$.

Đáp án đúng là: A

Tâm mặt cầu có tọa độ I(−1; 2; 3).

Bán kính mặt cầu R = 5000 m = 5 km.

Vậy phương trình mặt cầu mô tả vùng phủ sóng của trạm phát sóng là

(x + 1)$^{2}$ + (y – 2)$^{2}$ + (z – 3)$^{2}$ = 25.

Đáp án đúng là: A

Để 4 thiết bị thu tín hiệu cùng một thời điểm thì điểm phát tín hiệu phải cách đều 4 điểm A, B, C, D.

Vậy điểm phát tín hiệu sẽ đặt tại tâm I của mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D.

Giả sử phương trình mặt cầu đó là x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ + Ax + By + Cz + D = 0 ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l} - 2A + 3B + 5C + D = - 38\\2B + 8C + D = - 68\\A - 3B + 7C + D = - 59\\4A + B + D = - 17\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = - \frac{{453}}{{131}}\\B = - \frac{{117}}{{131}}\\C = - \frac{{1047}}{{131}}\\D = - \frac{{298}}{{131}}\end{array} \right.$ tâm $I\left( {\frac{{453}}{{262}};\frac{{117}}{{262}};\frac{{1047}}{{262}}} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow {IB} = \left( {0;1;0} \right)$ IB = 1 < R nên điểm B(1; 1; −1) nằm bên trong mặt cầu trên.

Suy ra điểm B thuộc vùng phủ sóng của thiết bị.

>

Đáp án đúng là: B

Khoảng cách từ tâm Trái Đất đến vị tinh là 18900 + 6300 = 25200 tương ứng bằng 4 đơn vị.

Ta thấy quỹ đạo chuyển động của vệ tinh quanh Trái Đất là một mặt cầu có tâm là tâm Trái Đất có tọa độ là O(0; 0; 0) và bán kính R = 4.

Do đó phương trình mặt cầu là x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ = 16.

Đáp án đúng là: C

Ta có x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 2x – 4y – 6z + 5 = 0 (x – 1)$^{2}$ + (y – 2)$^{2}$ + (z – 3)$^{2}$ = 3$^{2}$.

Khoảng cách xa nhất gữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là đường kính của mặt cầu, tức là 6 km.