10 bài tập Vận dụng kiến thức phương trình mặt phẳng vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tế có lời giải

Đáp án đúng là: D

Vì B(3k; 2k; k) (CBEF): z = 3 nên k = 3.

Suy ra B(9; 6; 3). Khi đó a + b + c = 18.

Đáp án đúng là: D

Do mặt dưới của mái nhà thuộc mặt phẳng vuông góc với trục Oz và đi qua A(3; 4; 33) nên phương trình mặt phẳng chứa mặt dưới của mái nhà là: z – 33 = 0.

Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng chứa mặt dưới của mái nhà bằng:

$\frac{{\left| {35 - 33} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = 2$.

Đáp án đúng là: B

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Ta có $OC = \sqrt {O{B^2} - B{C^2}} = 4$. Suy ra B(3; 4; 0).

Mặt phẳng chứa quỹ đạo đi qua O(0; 0; 0) và nhận $\overrightarrow k \left( {0;0;1} \right),\overrightarrow {OB} \left( {3;4;0} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Suy ra vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow k ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( { - 4;3;0} \right)$.

Vậy phương trình mặt phẳng chứa quỹ đạo của quả bóng là

−4(x – 0) + 3(y – 0) + 0(z – 0) = 0 4x – 3y = 0.

Do đó a + c = 4.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {3;1;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {6;2; - 1} \right)$.

Mặt phẳng (ABC) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( { - 1;3;0} \right)$ nên phương trình (ABC):

x – 3y + 3 = 0.

Vậy khoảng cách $d\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.6 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{9\sqrt {10} }}{{10}} \approx 2{,}85$.

Đáp án đúng là: A

Vì (Q) // (P) nên (Q) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {6;5;1} \right)$.

Nên phương trình mặt phẳng (Q): 6x + 5y + z – 12 = 0.

Do đó A + B + C + D = 0.

Đáp án đúng là: A

Gọi mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm pháo A(3; 0; 0), B(0; 1,5; 0), C(0; 0; −1,5) nên có phương trình là $\frac{x}{3} + \frac{y}{{1{,}5}} + \frac{z}{{ - 1{,}5}} = 1 \Leftrightarrow x + 2y - 2z - 3 = 0$.

Giả sử điểm G(x$_{G}$; y$_{G}$; z$_{G}$) là vị trí khi mục tiêu bay tới mặt phẳng (P) để tới vị trí N nên G ∈ (P).

Do $\overrightarrow {MG} ,\overrightarrow {MN}$ là 2 vectơ cùng hướng nên tồn tại số thực t > 0 sao cho $\overrightarrow {MG} = t\overrightarrow {MN}$.

Ta có $\overrightarrow {MG} = \left( {{x_G} - 5;{y_G} - 2;{z_G} - 4} \right);\overrightarrow {MN} = \left( { - 4; - 2; - 6} \right)$.

Nên $\left\{ \begin{array}{l}{x_G} - 5 = - 4t\\{y_G} - 2 = - 2t\\{z_G} - 4 = - 6t\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = 5 - 4t\\{y_G} = 2 - 2t\\{z_G} = 4 - 6t\end{array} \right.$.

Vì G ∈ (P) 5 – 4t + 2(2 – 2t) – 2(4 – 6t) = 3 t = $\frac{1}{2}$ G(3; 1; 1).

Do đó $\overrightarrow {AG} = \left( {0;1;1} \right) \Rightarrow AG = \sqrt 2 \approx 1{,}41$.

Đáp án đúng là: C

Ta có phương trình mặt phẳng là (P): z – 4 = 0.

Khoảng cách từ đầu in đến khay đặt vật in là d(M, (P)) = $\frac{{\left| {24 - 4} \right|}}{1} = 20$.

Đáp án đúng là: A

Lấy A(0; 0; −4) ∈ (P), dễ thấy (P) // (Q)

Khi đó $d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 4} \right) + 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{6}{3} = 2$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 - 1 - 2.5 + 13} \right|}}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = 2$.

Đáp án đúng là: D

Giả sử A(1; 1; 10), B(4; 3; 1), C(3; 2; 5),

Có $\overrightarrow {AB} = \left( {3;2; - 9} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {2;1; - 5} \right)$, $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1; - 3; - 1} \right)$.

Mặt phẳng (ABC) đi qua A(1; 1; 10) và nhận $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1; - 3; - 1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: −(x – 1) – 3(y – 1) – (z – 10) = 0 x + 3y + z − 14 = 0.

Do đó m + n + p = 3 + 1 − 14 = 10.