10 Bài tập Vận dụng định nghĩa đạo hàm vào giải quyết một số bài toán thực tiễn (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Vận tốc của vật tại thời điểm t = 7 là:

v(7) = s*'*(7) = $\underset{\text{t}\rightarrow 7}{\lim }\frac{\frac{1}{2}\cdot 9{,}8{t}^{2}-\frac{1}{2}\cdot 9{,}8\cdot {7}^{2}}{\text{t}-7}=\underset{\text{t}\rightarrow 7}{\lim }\frac{4{,}9(\text{t}-7)(\text{t}+7)}{\text{t}-7}=\underset{\text{t}\rightarrow 7}{\lim }[4{,}9(\text{t}+7)]=68{,}6$.

Vậy vận tốc của vật tại thời điểm t = 7 là 68,6 m/s.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vận tốc của vật tại thời điểm t = 3 là:

v(3) = s*'*(3) = $\underset{\text{t}\rightarrow 3}{\lim }\frac{{\text{t}}^{3}-{\text{t}}^{\text{2}}+2\text{t}+5-29}{\text{t}-3}=\underset{\text{t}\rightarrow 3}{\lim }\frac{{\text{t}}^{3}-{\text{t}}^{\text{2}}+2\text{t}-24}{\text{t}-3}=\underset{\text{t}\rightarrow 3}{\lim }{\text{(t}}^{2}+2\text{t}+8)=23$.

Vậy vận tốc của vật tại thời điểm t = 3 là 23 m/s.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: ${\text{C'(x}}_{\text{0}}\text{)}=\underset{\text{x}\rightarrow {\text{x}}_{\text{0}}}{\text{lim}}\frac{1200+12\text{x}-0{,}1{\text{x}}^{2}-1200-12{\text{x}}_{0}+0{,}1{\text{x}}_{0}}{\text{x}-{\text{x}}_{0}}$

$=\underset{\text{x}\rightarrow {\text{x}}_{\text{0}}}{\text{lim}}\frac{12(\text{x}-{\text{x}}_{0})-0{,}1({\text{x}}^{2}-{\text{x}}_{0})}{\text{x}-{\text{x}}_{0}}$

$=\underset{\text{x}\rightarrow {\text{x}}_{\text{0}}}{\text{lim}}[12-0{,}1(\text{x}+{\text{x}}_{0})]$

= 12 – 0,2x$_{0}$.

Vậy C*'*(x) = 12 – 0,2x.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B
Cường độ của dòng điện trong dây dẫn tại t = 8 là

I(8) = Q*'*(8) = $\underset{\text{t}\rightarrow 8}{\lim }\frac{5t+3-43}{\text{t}-8}=\underset{\text{t}\rightarrow 8}{\lim }\frac{5(t-8)}{\text{t}-8}=\underset{\text{t}\rightarrow 8}{\lim }5=5$.

Vậy I(8) = 5 A.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

+ Đặt h = f(t) = 19,6t – 4,9t$^{2}$.

Với x$_{0}$ bất kì, ta có:

${}_{\text{0}}\text{)}=\underset{\text{t}\rightarrow {\text{t}}_{\text{0}}}{\text{lim}}\frac{19{,}6t-4{,}9{t}^{2}-19{,}6{t}_{0}+4{,}9{t}_{0}^{2}}{\text{t}-{\text{t}}_{0}}=\underset{t\rightarrow {t}_{0}}{\lim }\frac{-4{,}9({t}^{2}-{t}_{0}^{2})+19{,}6(t-{t}_{0})}{t-{t}_{0}}$

$=\underset{t\rightarrow {t}_{0}}{\lim }(-4{,}9t-4{,}9{t}_{0}+19{,}6)=-9{,}8{t}_{0}+19{,}6$.

Vậy hàm số h = 19,6t – 4,9t$^{2}$ có đạo hàm là hàm số h*'* = –9,8t + 19,6.

Khi vật chạm đất thì h = 0, tức là 19,6t – 4,9t$^{2}$ = 0, tức là t = 0 hoặc t = 4.

Khi t = 4, vận tốc của vật khi nó chạm đất là v(4) = h*'*(4) = –9,8 ∙ 4 + 19,6 = –19,6 (m/s).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có v(t$_{0}$) = s*'*(t$_{0}$).

${\text{s'(t}}_{\text{0}}\text{)}=\underset{\text{t}\rightarrow {\text{t}}_{\text{0}}}{\text{lim}}\frac{{\text{6t}}^{2}-{\text{t}}^{3}-6{\text{t}}_{0}^{2}+{\text{t}}_{0}^{3}}{\text{t}-{\text{t}}_{0}}=\underset{\text{t}\rightarrow {\text{t}}_{\text{0}}}{\text{lim}}\frac{6({\text{t}}^{2}-{\text{t}}_{0}^{2})-({\text{t}}^{3}-{\text{t}}_{0}^{3})}{\text{t}-{\text{t}}_{0}}$

$=\underset{\text{t}\rightarrow {\text{t}}_{\text{0}}}{\text{lim}}[6(\text{t}+{\text{t}}_{0})-({\text{t}}^{2}+{\text{tt}}_{\text{0}}+{\text{t}}_{\text{0}}^{\text{2}})]=12{\text{t}}_{0}-3{\text{t}}_{0}^{2}$.

Ta có ${\text{v(t}}_{\text{0}}\text{)}=12{\text{t}}_{0}-3{\text{t}}_{0}^{2}=-3{({\text{t}}_{\text{0}}-2)}^{2}+12$.

Vì – 3(t$_{0}$ – 2)$^{2}$ + 12 ≤ 12 với mọi t.

Dấu “=” xảy ra khi t$_{0}$– 2 = 0, tức là t$_{0}$ = 2 (s).

Vậy tàu có vận tốc lớn nhất tại thời điểm t = 2 giây.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Tốc độ truyền bệnh (người/ngày) là:

${\text{f'(t}}_{\text{0}}\text{)}=\underset{\text{t}\rightarrow {\text{t}}_{\text{0}}}{\text{lim}}\frac{-{\text{t}}^{3}+45{\text{t}}^{2}-22+{\text{t}}_{0}^{3}-45{\text{t}}_{0}^{2}+22}{\text{t}-{\text{t}}_{0}}=\underset{\text{t}\rightarrow {\text{t}}_{\text{0}}}{\text{lim}}\frac{-({\text{t}}^{3}-{\text{t}}_{0}^{3})+45({\text{t}}^{2}-{\text{t}}_{0}^{2})}{\text{t}-{\text{t}}_{0}}$

$=\underset{\text{t}\rightarrow {\text{t}}_{\text{0}}}{\text{lim}}[-({\text{t}}^{2}+{\text{tt}}_{\text{0}}+{\text{t}}_{\text{0}}^{\text{2}})+45(\text{t}+{\text{t}}_{0})]=-3{\text{t}}_{0}^{2}+90{\text{t}}_{0}$.

Nhận thấy f*'(t) là một Parabol có hệ số a = –3 < 0 nên f'*(t) đạt giá trị lớn nhất tại $t=\frac{-90}{2\cdot (-3)}=15$.

Vậy tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ 15.