10 bài tập Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể có lời giải

Đáp án đúng là: B

Có $V = \pi \int\limits_0^3 {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}dx} = \frac{{348\pi }}{5}$.

Đáp án đúng là: B

Thể tích của vật thể là $V = \int\limits_{ - 2}^2 {{{\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)}^2}dx} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {4 - {x^2}} \right)dx} = \left. {\left( {4x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ - 2}^2 = \frac{{32}}{3}$.

Đáp án đúng là: C

Có $V = \int\limits_0^\pi {S\left( x \right)dx} = \int\limits_0^\pi {\frac{{\sqrt 3 }}{4}{{\left( {2\sqrt {\sin x} } \right)}^2}dx} = \int\limits_0^\pi {\sqrt 3 \sin xdx} = \left. { - \sqrt 3 \cos x} \right|_0^\pi = 2\sqrt 3$.

Đáp án đúng là: C

Diện tích thiết diện $S\left( x \right) = 3.\frac{{{{\left( {2x} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = 3{x^2}\sqrt 3$.

Do đó thể tích vật thể $V = \int\limits_1^4 {3{x^2}\sqrt 3 dx} = \left. {\sqrt 3 {x^3}} \right|_1^4 = 63\sqrt 3$.

Đáp án đúng là: C

$V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{e^{3x}}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^1 {{e^{6x}}dx}$.

Đáp án đúng là: D

Có x$^{2}$ – 2x = 0 x = 0 hoặc x = 2.

Thể tích $V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} - 2x} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^2 {\left( {{x^4} - 4{x^3} + 4{x^2}} \right)dx}$$= \left. {\pi \left( {\frac{{{x^5}}}{5} - {x^4} + \frac{{4{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 = \frac{{16\pi }}{{15}}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} + 6} \right)}^2}dx} = \frac{{552\pi }}{5}$.

Đáp án đúng là: A

Có $V = \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( {2\sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^2}dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {4\left( {1 - {x^2}} \right)dx}$$= \left. {\left( {4x - \frac{4}{3}{x^3}} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \frac{{16}}{3}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $V = \pi \int\limits_2^5 {{{\left( {\sqrt {x - 1} } \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_2^5 {\left( {x - 1} \right)dx} = \frac{{15\pi }}{2}$.

Đáp án đúng là: A

Có $\sqrt x .{e^{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 0$.

Thể tích cần tính là $V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {\sqrt x {e^{{x^2}}}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^1 {x{e^{2{x^2}}}dx} = \left. {\frac{\pi }{4}{e^{2{x^2}}}} \right|_0^1 = \frac{\pi }{4}\left( {{e^2} - 1} \right)$.