10 bài tập Ứng dụng của định lí Viète trong bài toán tìm tham số thỏa mãn sự tương giao của hai đồ thị chứa tham số có lời giải

Đáp án đúng là: D

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x$^{2}$ = (m – 2)x + 3m hay x$^{2}$− (m – 2)x − 3m = 0. (*)

Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm ở hai phía trục tung khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu, tức là −3m < 0, hay m > 0.>

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: B

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x$^{2}$ = mx + m + 1 hay x$^{2}$ – mx – m – 1 = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆ = (–m)$^{2}$ – 4.1.(–m – 1) = m$^{2}$ + 4m + 4 = (m + 2)$^{2}$ ≥ 0 với mọi m.

Do đó phương trình (*) luôn có hai nghiệm x$_{1}$, x$_{2}$ nên đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm có hoành độ x$_{1}$, x$_{2}$.

Theo định lí Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2}\; = m\\{x_1}{x_2} = - m - 1\end{array} \right..$

Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm bên trái trục tung, tức là hoành độ hai giao điểm có giá trị âm và khác nhau, điều này xảy ra khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm âm phân biệt, tức là $\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\{x_1} + {x_2}\; < 0\\{x_1}{x_2} > 0\end{array} \right.,$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 2} \right)^2} > 0\\m < 0\\ - m - 1 > 0\end{array} \right.,$ nên $\left\{ \begin{array}{l}m + 2 \ne 0\\m < 0\\m < - 1\end{array} \right.,$ do đó m < –1 và m ≠ –2.

Vậy ta chọn phương án B.

>>>

Đáp án đúng là: C

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

mx$^{2}$ = –3x + 1 hay mx$^{2}$ + 3x – 1 = 0. (*)

Phương trình (*) có ∆ = 3$^{2}$ – 4.m.(–1) = 9 + 4m.

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt cùng nằm về một phía đối với trục tung thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$ cùng dấu, tức là $\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\{x_1}{x_2} > 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}9 + 4m > 0\\\frac{{ - 1}}{m} > 0\end{array} \right.,$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}m > - \frac{9}{4}\\m < 0\end{array} \right.$ do đó $- \frac{9}{4} < m < 0.$

Kết hợp điều kiện m ≠ 0, ta có $- \frac{9}{4} < m < 0.$

Mà m là số nguyên nên ta có m ∈ {–2; –1}.

Vậy có hai giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

>>

Đáp án đúng là: C

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x$^{2}$ = 2mx – 2m + 3 hay x$^{2}$ − 2mx + 2m – 3 = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆' = (−m)$^{2}$ – 1.(2m – 3) = m$^{2}$ – 2m + 3 = (m – 1)$^{2}$ + 2 > 0, với mọi m.

Do đó phương trình (*) luôn có hai nghiệm x$_{1}$, x$_{2}$ phân biệt, hay đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (x$_{1}$; y$_{1}$); (x$_{2}$; y$_{2}$).

Khi đó, ta có: ${y_1} = x_1^2;\,\,{y_2} = x_2^2.$

Theo định lí Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2}\; = 2m\\{x_1}{x_2} = 2m - 3\end{array} \right..$

Theo bài, tung độ hai giao điểm không vượt quá 9 tức là y$_{1}$ + y$_{2}$ ≤ 9, suy ra $x_1^2 + x_2^2 \le 9$

Ta có:

$$x_1^2 + x_2^2 \le 9$$

(x$_{1}$ + x$_{2}$)$^{2}$ – 2x$_{1}$x$_{2}$ ≤ 9

(2m)$^{2}$ – 2.(2m – 3) ≤ 9

4m$^{2}$ – 4m – 3 ≤ 0

(4m$^{2}$ – 6m) + (2m – 3) ≤ 0

2m(2m – 3) + (2m – 3) ≤ 0

(2m – 3)(2m + 1) ≤ 0

2m – 3 ≤ 0 và 2m + 1 ≥ 0 (do 2m – 3 < 2m + 1).

$m \le \frac{3}{2}$ và $m \ge - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} \le m \le \frac{3}{2}$

Mà m là số nguyên nên m ∈ {0; 1}.

Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

>

Đáp án đúng là: C

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x$^{2}$ = 2mx + 4 hay x$^{2}$ − 2mx – 4 = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆' = (−m)$^{2}$ – 1.(−4) = m$^{2}$ + 4 > 0 với mọi m.

Do đó phương trình (*) luôn có hai nghiệm x$_{1}$, x$_{2}$ phân biệt hay đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x$_{1}$, x$_{2}$.

Theo định lí Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2}\; = 2m\\{x_1}{x_2} = - 4\end{array} \right..$

Theo bài, ta có:

$\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = - 3$

$\frac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}} = - 3$

$\frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = - 3$

$\frac{{{{\left( {2m} \right)}^2} - 2 \cdot \left( { - 4} \right)}}{{ - 4}} = - 3$

4m$^{2}$ + 8 = 12

4m$^{2}$ = 4

m$^{2}$ = 1

m = 1 hoặc m = −1.

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án đúng là: A

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

$- \frac{1}{4}{x^2} = - \frac{1}{2}x + m$ hay x$^{2}$ – 2x + 4m = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆' = (−1)$^{2}$ – 1.4m = 1 – 4m.

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x$_{1}$, x$_{2}$ thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$, tức là ∆' > 0, hay 1 – 4m > 0, nên $m < \frac{1}{4}.$

Theo định lí Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} = 4m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right..$

Từ (1), ta có x$_{2}$ = 2 – x$_{1}$, thay vào 3x$_{1}$ + 5x$_{2}$ = 5, ta được:

3x$_{1}$ + 5(2 – x$_{1}$) = 5

3x$_{1}$ + 10 – 5x$_{1}$ = 5

–2x$_{1}$ = –5

${x_1} = \frac{5}{2}.$

Khi đó, ${x_2} = 2 - {x_1} = 2 - \frac{5}{2} = - \frac{1}{2}.$

Thay ${x_1} = \frac{5}{2}$ và ${x_2} = - \frac{1}{2}$ vào (2), ta được:

$\frac{5}{2} \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = 4m$ hay $4m = - \frac{5}{4}$ nên $m = - \frac{5}{{16}}$ (thỏa mãn $m < \frac{1}{4}).$

$_{Vậy ta chọn phương án A.}$

</></>

Đáp án đúng là: D

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x$^{2}$ = −2(m – 2)x + m$^{2}$ hay x$^{2}$ + 2(m – 2)x – m$^{2}$ = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆' = (m – 2)$^{2}$ – 1.(–m$^{2}$) = m$^{2}$ – 4m + 4 + m$^{2}$

= 2m$^{2}$ – 4m + 4 = 2(m – 1)$^{2}$ + 2 > 0 với mọi m.

Do đó phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$ nên đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ là (x$_{1}$; y$_{1}$) và (x$_{2}$; y$_{2}$).

Theo định lí Viète ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\left( {m - 2} \right)\\{x_1}{x_2} = - {m^2}\end{array} \right..$

Mà –m$^{2}$ ≤ 0 với mọi m, nên x$_{1}$x$_{2}$ ≤ 0.

Lại có x$_{1}$ < x$_{2>}$

(theo đề bài) nên x$_{1}$ ≤ 0 và x$_{2}$ ≥ 0.

Do đó |x$_{1}$| = –x$_{1}$; |x$_{2}$| = x$_{2}$.

Khi đó: |x$_{1}$| – |x$_{2}$| = –x$_{1}$ – x$_{2}$ = –(x$_{1}$ + x$_{2}$).

Theo bài, |x$_{1}$| – |x$_{2}$| = 6 nên –(x$_{1}$ + x$_{2}$) = 6

Suy ra 2(m – 2) = 6 nên m – 2 = 3, do đó m = 5.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: C

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x$^{2}$ = (m + 2)x + 3 hay x$^{2}$ – (m + 2)x – 3 = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆ = [–(m + 2)]$^{2}$ – 4.1.(–3) = (m + 2)$^{2}$ + 12 > 0 với mọi m.

Do đó phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$ nên đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x$_{1}$, x$_{2}$.

Theo định lí Viète ta có:$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 2\\{x_1}{x_2} = - 3.\end{array} \right.$

Theo bài, x$_{1}$ ∈ ℤ, x$_{2}$ ∈ ℤ nên x$_{1}$, x$_{2}$ ∈ Ư(–3) = {1; –1; 3; –3}.

Ta có bảng sau:

Từ bảng, ta có: m ∈ {0; –4}.

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án đúng là: A

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x$^{2}$ = 2(m – 1)x – m – 5 hay x$^{2}$ – 2(m – 1)x + m + 5 = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆' = [–(m – 1)]$^{2}$ – 1.(m + 5) = m$^{2}$ – 2m + 1 – m – 5 = m$^{2}$ – 3m – 4.

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x$_{1}$, x$_{2}$ thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$, tức là ∆' > 0, hay m$^{2}$ – 3m – 4 > 0.

Giải bất phương trình:

m$^{2}$ – 3m – 4 > 0

m$^{2}$ – 4m + m – 4 > 0

m(m – 4) + (m – 4) > 0

(m – 4)(m + 1) > 0

⦁ Trường hợp 1. m – 4 > 0 và m + 1 > 0

Suy ra m > 4 và m > –1

Do đó m > 4.

⦁ Trường hợp 2. m – 4 < 0 và m + 1 < 0

Suy ra m < 4 và m < –1

Do đó m < –1.

Như vậy, với m < –1 hoặc m > 4 thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x$_{1}$, x$_{2}$.>

Theo định lí Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)\\{x_1}{x_2} = m + 5\end{array} \right..$

Để x$_{1}$, x$_{2}$ là độ dài hai cạnh của một tam giác thì: x$_{1}$ > 0 và x$_{2}$ > 0.

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} > 0\\{x_1}{x_2} > 0\end{array} \right.,$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}2\left( {m - 1} \right) > 0\\m + 5 > 0\end{array} \right.$ do đó $\left\{ \begin{array}{l}m > 1\\m > - 5\end{array} \right.$ nên m > 1.

Kết hợp các điều kiện tìm được ở trên, ta có: m > 4.

Do x$_{1}$, x$_{2}$ là độ dài hai cạnh của tam giác vuông có đường chéo là $\sqrt {10}$ nên áp dụng định lí Pythagore ta có:

$x_1^2 + x_2^2 = 10$

(x$_{1}$ + x$_{2}$)$^{2}$ – 2x$_{1}$x$_{2}$ = 10

[2(m – 1)]$^{2}$ – 2.(m + 5) = 10

4m$^{2}$ – 8m + 4 – 2m – 10 = 10

4m$^{2}$ – 10m – 16 = 0

2m$^{2}$ – 5m – 8 = 0

Phương trình trên có ∆$_{m}$ = (–5)$^{2}$ – 4.2.(–8) = 89 > 0.

Do đó phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:

${m_1} = \frac{{5 + \sqrt {89} }}{4};\,\,{m_2} = \frac{{5 - \sqrt {89} }}{4}.$

Kết hợp điều kiện m > 4, ta thấy cả hai giá trị m tìm được ở trên đều không thỏa mãn.

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

>>>

Đáp án đúng là: C

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x$^{2}$ = (m – 3)x – m + 4 hay x$^{2}$ – (m – 3)x + m – 4 = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆ = [–(m – 3)]$^{2}$ – 4.1.(m – 4) = m$^{2}$ – 6m + 9 – 4m + 16

= m$^{2}$ – 10m + 25 = (m – 5)$^{2}$ ≥ 0 với mọi m.

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x$_{1}$, x$_{2}$ thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt có hoành độ x$_{1}$, x$_{2}$, tức là ∆ > 0, hay (m – 5)$^{2}$ > 0, suy ra (m – 5)$^{2}$ ≠ 0, do đó m – 5 ≠ 0 nên m ≠ 5.

Theo định lí Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{\rm{ }}{x_1} + {x_2} = m - 3\\{\rm{ }}{x_1}{x_2} = m - 4\end{array} \right..$

Để x$_{1}$, x$_{2}$ là độ dài hai cạnh của một tam giác thì: x$_{1}$ > 0 và x$_{2}$ > 0.

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} > 0\\{x_1}{x_2} > 0\end{array} \right.,$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}m - 3 > 0\\m - 4 > 0\end{array} \right.$ do đó $\left\{ \begin{array}{l}m > 3\\m > 4\end{array} \right.$ nên m > 4.

Vì ∆ = (m – 5)$^{2}$ nên hai nghiệm của phương trình (*) là:

$$x = \frac{{m - 3 - \left( {m - 5} \right)}}{{2 \cdot 1}} = 1;\,\,x = \frac{{m - 3 + \left( {m - 5} \right)}}{{2 \cdot 1}} = m - 4.$$

Do x$_{1}$ ≠ x$_{2}$nên x$_{1}$, x$_{2}$không thể cùng là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông cân.

Giả sử x$_{1}$ là độ dài cạnh huyền, x$_{2}$ là độ dài cạnh góc vuông thì theo định lí Pythagore, ta có $x_1^2 = {\rm{ }}x_2^2 + x_2^2$

Suy ra ${x_1} = {\rm{ }}\sqrt 2 {x_2}$ (do x$_{1}$ > 0 và x$_{2}$ > 0).

⦁ Trường hợp 1. x$_{1}$ = 1 và x$_{2}$ = m – 4.

Thay vào ${x_1} = {\rm{ }}\sqrt 2 {x_2},$ ta có:

$1 = \sqrt 2 \left( {m - 4} \right),$ suy ra $m = \frac{1}{{\sqrt 2 }} + 4$ (thỏa mãn m > 4 và m ≠ 5).

⦁ Trường hợp 2. x$_{1}$ = m – 4 và x$_{2}$ = 1.

Thay vào ${x_1} = {\rm{ }}\sqrt 2 {x_2},$ ta có:

$m - {\rm{4 = }}\sqrt 2 \cdot 1,$ suy ra $m = \sqrt 2 + 4$ (thỏa mãn m > 4 và m ≠ 5).

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài là $m = \frac{1}{{\sqrt 2 }} + 4,\,\,m = \sqrt 2 + 4.$