10 Bài tập Ứng dụng ba đường conic vào các bài toán thực tế (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Gọi $(H):\ \frac{{x}^{2}}{25}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$ có a$^{2}$ = 25 và b$^{2}$ = 16.

Suy ra $c=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}$.

Ta tìm được một tiêu điểm của gương là ${F}_{2}(\sqrt{41};0)$ và đỉnh của gương là A$_{1}$(–5; 0).

Vậy khoảng cách từ tâm của máy ảnh tới đỉnh của gương là ${F}_{2}{A}_{1}=\sqrt{41}+5\approx 11{,}4.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi $(H):\ \frac{{x}^{2}}{36}-\frac{{y}^{2}}{64}=1$

Phương trình của gương (H) có dạng $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$, với a = 6, b = 8;

Suy ra $c=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=10$.

Giả sử điểm cần tìm là M ∈ (H).

Gọi đường đi của ánh sáng qua điểm (0; 10) và M là d, do tia sáng sau khi phản xạ bởi gương sẽ đi qua tiêu điểm F$_{1}$(–10; 0), suy ra d nhằm vào tiêu điểm F$_{2}$(10; 0) (F$_{2}$ ∈ d).

Từ đây dễ dàng lập được phương trình của d là y = –x + 10.

Tọa độ của M ∈ (H) là nghiệm của hệ: $\{\begin{matrix}y=-x+10 \\ \frac{{x}^{2}}{36}-\frac{{y}^{2}}{64}=1\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}y=-x+10 \\ 16{x}^{2}-9{y}^{2}-576=0\end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}y=-x+10 \\ 16{x}^{2}-9{(10-x)}^{2}-576=0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}y=-x+10 \\ 16{x}^{2}-9(100-20x+{x}^{2})-576=0\end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}y=-x+10 \\ 7{x}^{2}+180x-1\ 476=0\end{matrix}\Leftrightarrow [\begin{matrix}\{\begin{matrix}x\approx -32{,}25 \\ y\approx 42{,}25\end{matrix} \\ \{\begin{matrix}x\approx 6{,}54 \\ y\approx 3{,}46\end{matrix}\end{matrix}$

Do điểm cần tìm nằm ở nhánh bên phải nên ta có M(6,54; 3,55).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Gọi đường đi của con tàu là (H) thì (H) có phương trình dạng $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ (a, b > 0).

Với giả thiết ta có các tiêu điểm của (H) là F$_{1}$(–150; 0) và F$_{2}$(150; 0), suy ra c = 150.

Giả sử vị trí con tàu hiện tại là M(x$_{0}$; 75) ∈ (H); theo giả thiết độ chênh lệch thời gian giữa các xung từ các trạm phát là 1 000 micro giây (0,001 giây), tức là ta có |MF$_{1}$ – MF$_{2}$| = 0,001.186 000 = 186 (dặm); tức là ta có 2a = 186 suy ra a = 93.

Do đó $b=\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}=27\sqrt{19}.$

Phương trình (H) là: $\frac{{x}^{2}}{8\ 649}-\frac{{y}^{2}}{13\ 851}=1$.

Ta có M(x$_{0}$; 75) ∈ (H) $\Leftrightarrow \frac{{x}^{2}}{8\ 649}-\frac{{75}^{2}}{13\ 851}=1\Leftrightarrow [\begin{matrix}x\approx 110{,}2789 \\ x\approx -110{,}2789\end{matrix}$.

Vậy hoành độ của con tàu gần bằng 110,2789.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi đường đi của con tàu là (H) thì (H) có phương trình dạng $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ (a, b > 0).

Với giả thiết ta có các tiêu điểm của (H) là F$_{1}$(–150; 0) và F$_{2}$(150; 0), suy ra c = 150.

Giả sử vị trí con tàu hiện tại là M(x$_{0}$; 75) ∈ (H); theo giả thiết độ chênh lệch thời gian giữa các xung từ các trạm phát là 1 000 micro giây (0,001 giây), tức là ta có |MF$_{1}$ – MF$_{2}$| = 0,001.186 000 = 186 (dặm); tức là ta có 2a = 186 suy ra a = 93.

Do đó $b=\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}=27\sqrt{19}.$

Phương trình (H) là: $\frac{{x}^{2}}{8\ 649}-\frac{{y}^{2}}{13\ 851}=1$.

Trạm phát số 1 nằm tại tiêu điểm F$_{2}$(150; 0), vị trí khi con tàu vào bờ là đỉnh của (H) là A$_{2}$(93; 0).

Vậy khoảng cách từ vị trí tàu vào bờ đến trạm số 1 là: F$_{2}$A$_{2}$ = 150 – 93 = 57 (dặm).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Gọi d$_{1}$ và d$_{2}$ là các khoảng cách tương ứng từ con tàu tới S$_{1}$ và S$_{2}$, khi đó hiệu d$_{1}$ – d$_{2}$ = 60 và con thuyền phải nằm trên một hyperbol với tiêu điểm là S$_{1}$ và S$_{2}$, hiệu hai khoảng cách cố định bằng 60 (Hình vẽ).

Để đưa ra phương trình của hyperbol, ta biểu diễn hiệu cố định này bằng 2a.

Như vậy, ta có c = 110, $\text{a}=\frac{1}{2}\cdot 60=30,b=\sqrt{{110}^{2}-{30}^{2}}=\sqrt{11\ 200}$

Phương trình của hyperbol này có dạng là $\frac{{x}^{2}}{900}-\frac{{y}^{2}}{11\ 200}=1$.

Thay y = 80 vào phương trình và giải theo x ta được:

$\frac{{x}^{2}}{900}-\frac{{80}^{2}}{11\ 200}=1\Leftrightarrow {x}^{2}=\frac{9\ 900}{7}$

Do đó x ≈ 37,61 (nghiệm âm bị loại, vì con tàu ở gần S$_{2}$ hơn S$_{1}$).

Khoảng cách từ con tàu đến S$_{2}$ là ${d}_{2}\approx \sqrt{{(37{,}61-110)}^{2}+{80}^{2}}=\sqrt{11640{,}3121}\approx 107{,}89$ km.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta bắt đầu bằng cách đặt micro trong một hệ tọa độ vuông góc. Bởi vì dặm bằng 5 280 feet nên ta đặt M$_{1}$ trên trục hoành cách gốc tọa độ 5280 feet về bên phải và đặt M$_{2}$ trên trục hoành cách gốc tọa độ 5 280 feet về bên trái như hình vẽ minh họa hai micro cách nhau 2 dặm.

Ta biết rằng M$_{2}$ nhận được âm thanh sau 4 giây so với M$_{1}$. Vì âm thanh di chuyển với tốc độ 1 100 feet/giây nên hiệu số khoảng cách từ P (nơi xảy ra vụ nổ) tới M$_{2}$ và từ P tới M$_{1}$ là 4 400 feet.

Tập tất cả các điểm P xảy ra vụ nổ thỏa mãn các điều kiện này là một hyperbol, với hai micro M$_{1}$ và M$_{2}$ là các tiêu điểm.

Như vậy, vị trí xảy ra vụ nổ nằm trên hyperbol có phương trình chuẩn là $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$.

Ta cần xác định các hệ số a và b.

Ta có hiệu số khoảng cách giữa hai micro là 4 400 feet và được đặt bằng 2a, tức là 2a = 4 400 suy ra a = 2 200.

Ta có $\frac{{x}^{2}}{2\ {200}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ hay $\frac{{x}^{2}}{4\ 840\ 000}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$.

Ta lại có khoảng cách từ gốc O(0; 0) tới tiêu điểm M$_{2}$(–5 280; 0) hoặc M$_{1}$(5 280; 0) đều bằng 5 280. Do đó c = 5 280.

Sử dụng hệ thức ${c}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}\Rightarrow b=\sqrt{5\ {280}^{2}-2\ {200}^{2}}\approx 4\ 800.$

Vậy a + b = 2 200 + 4 800 = 7 000.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Theo đề bài con tàu nhận được tín hiệu từ B sớm hơn từ A 500 micro giây,

Vì âm thanh di chuyển với tốc độ 300 mét/micro giây nên hiệu số khoảng cách từ con tàu tới A và B là 500 . 300 m = 150 000m = 150 km.

Hiệu khoảng cách này là 2a = 150 suy ra a = 75.

Con tàu nằm trên một nhánh của hyperbol, với hai tháp vô tuyến A và B là hai tiêu điểm, A và B cách nhau 200 km, nghĩa là 2c = 200 suy ra c = 100.

Theo tính chất của hyperbol, $b=\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}=\sqrt{{100}^{2}-{75}^{2}}=\sqrt{4\ 375},$ và phương trình chuẩn của hyperbol là $\frac{{x}^{2}}{5\ 625}-\frac{{y}^{2}}{4\ 375}=1$.

Vì con tàu nằm về phía Bắc của tháp B, nghĩa là có hoành độ x = c = 100.

Thay x = 100 vào phương trình trên ta có y ≈ 58,33.

Vậy tàu cách bờ biển khoảng 58,33 km.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình parabol có dạng y$^{2}$ = 2px, với p = 10.

Suy ra $\frac{p}{2}=\frac{10}{2}=5$.

Khi đó tọa độ tiêu điểm F(5; 0).

Vậy ta sẽ đặt ống thu tại điểm có tọa độ (5; 0).

Do đó ta chọn phương án D.