10 bài tập Tính bán kính đáy, chiều cao, đường sinh, diện tích xung quanh và thể tích của hình nón có lời giải

Đáp án đúng là: D

Độ dài đường sinh là: $l = \sqrt {{h^2} + {r^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5$.

Ta có S$_{xq}$ = πrl = π.3.5 = 15π cm$^{2}$.

Đáp án đúng là: A

Bán kính của hình nón là: 10 : 2 = 5 (cm).

Độ dài đường sinh là: 65π : 5π = 13 (cm).

Chiều cao của hình nón là: $h = \sqrt {{l^2} - {r^2}} = \sqrt {{{13}^2} - {5^2}} = 12$ cm.

Thể tích của hình nón đó là: $\frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {.5^2}.12 = 100\pi$ (cm$^{3}$).

Đáp án đúng là: C

Bán kính đáy của hình nón là: 18 : 2 = 9 cm.

Đường sinh của hình nón là: 135π : 9π = 15 (cm).

Do đó, chiều cao của hình nón là: $h = \sqrt {{{15}^2} - {9^2}} = 12$ cm.

Thể tích của khối nón là: $\frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {.9^2}.12. = 324\pi$ (cm$^{3}$).

Đáp án đúng là: B

Bán kính đáy của hình nón là: $r = \sqrt {3000\pi :10\pi } = 10\sqrt 3$ cm.

Đường sinh của hình nón là: $l = \sqrt {{{\left( {10\sqrt 3 } \right)}^2} + {{10}^2}} = 20$ cm.

Diện tích toàn phần của hình nón là:

S$_{tp}$ = πr(l + r) = π.$10\sqrt 3$.($10\sqrt 3$ + 20) = $\left( {300 + 200\sqrt 3 } \right)\pi$ cm$^{2}$.

Đáp án đúng là: D

Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AB ta được một hình nón có chiều cao AB và bán kính đường tròn đáy là cạnh AC.

Theo định lí Pythagore, ta có:

AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = BC$^{2}$ nên AB$^{2}$ = BC$^{2}$ – AC$^{2}$= 20$^{2}$ – 12$^{2}$ suy ra AB = 16 (cm).

Thể tích của khối nón là: V = $\frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {.12^2}.16 = 768\pi$ (cm$^{3}$).

Đáp án đúng là: A

Ta có đường sinh mới là: ${l_1} = \sqrt {{{\left( {2h} \right)}^2} + {{\left( {2r} \right)}^2}} = 2l$.

Khi đó, diện tích xung quanh mới là: π.(2R).(2l) = 4πrl.

Do đó, diện tích xung quanh của hình nón tăng lên 4 lần.

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC đều có AM vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến.

Ta có: AM = $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Áp dụng định lí Pythagore, suy ra AM$^{2}$ + MC$^{2}$ = AC$^{2}$ nên

l = AC = $\sqrt {A{M^2} + M{C^2}} = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{4}} = a$.

Do đó, diện tích toàn phần của hình tạo thành là:

S$_{tp}$ = πr(l + r) = π. $\frac{a}{2}.\left( {a + \frac{a}{2}} \right)$ = $\frac{{3\pi {a^2}}}{4}.$

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác ABC đều có AM vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến.

Ta có: AM = $2\sqrt 3$ (cm).

Áp dụng định lí Pythagore, suy ra AM$^{2}$ + MC$^{2}$ = AC$^{2}$ nên

l = AC = $\sqrt {A{M^2} + M{C^2}} = \sqrt {12 + 4} = 4$ (cm).

Do đó, diện tích toàn phần của hình tạo thành là:

S$_{tp}$ = πr(l + r) = π. $2.\left( {4 + 2} \right)$ = 12π (cm$^{2}$).

Đáp án đúng là: D

Ta uốn hình quạt BAC thành hình nón đỉnh A đường sinh AB = 20 cm.

Khi đó, độ dài cung BC chính là chi vi đáy của hình tròn.

Ta có độ dài cung BC là: ℓ$_{BC}$ = $\frac{{\pi .20.144}}{{180}} = 16\pi$.

Khi đó, chu vi đáy của hình nón là: C = 2πr = 16π nên r = 8 cm.

Do đó, h$^{2}$ = l$^{2}$ – r$^{2}$ = 20$^{2}$ – 8$^{2}$ = 336 nên h = $4\sqrt {21}$ cm.

Thể tích khối nón V = $\frac{1}{3}\pi {.8^2}.4\sqrt {21} = \frac{{256\pi \sqrt {21} }}{3}$ (cm$^{3}$).

Đáp án đúng là: C

Ta uốn hình quạt BAC thành hình nón đỉnh A đường sinh AB = 12 cm.

Khi đó, độ dài cung BC chính là chi vi đáy của hình tròn.

Ta có độ dài cung BC là: ℓ$_{BC}$ = $\frac{{\pi .12.135}}{{180}} = 9\pi$.

Khi đó, chu vi đáy của hình nón là: C = 2πR = 9π nên R = $\frac{9}{2}$ cm.

Do đó, h$^{2}$ = l$^{2}$ – R$^{2}$ = 12$^{2}$ – ${\left( {\frac{9}{2}} \right)^2}$ = 336 nên h = $\frac{{3\sqrt {55} }}{2}$ cm.

Thể tích khối nón $\frac{1}{3}.\pi .4,{5^2}.\frac{{3\sqrt {55} }}{2} = \frac{{41\pi \sqrt {55} }}{8}$ (cm$^{3}$).