10 Bài tập Tìm một điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trước (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Theo quy tắc ba điểm, ta có: $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{IA}+2(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB})=3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{AB}$.

Mà $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$

Do đó: $3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{IA}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\Leftrightarrow \overrightarrow{IA}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}$

Vậy I nằm trên nửa đường thẳng AB theo hướng từ B về A với $IA=\frac{2}{3}AB$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có:

$\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{CB}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+(\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{BC})=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}$

Vậy K là trọng tâm của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có:

$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}-3\overrightarrow{KC}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{CP}=(\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{CA})+2(\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{CB})-3\overrightarrow{KC}$ (quy tắc ba điểm)

$\Leftrightarrow \overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}$

Vậy tập hợp điểm P thỏa mãn $\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có:

$\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OD}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OB}+4(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC})=2(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BD})$ (quy tắc ba điểm)

$\Leftrightarrow 3\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{BD}-4\overrightarrow{BC}$

$\Leftrightarrow 3\overrightarrow{OB}=2(\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BC})-2\overrightarrow{BC}$ (quy tắc trừ hai vectơ)

$\Leftrightarrow 3\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{BD}-4\overrightarrow{BC}$

$\Leftrightarrow 3\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{BD}+4\overrightarrow{CB}$

$\Leftrightarrow 3\overrightarrow{OB}=2(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD})+2\overrightarrow{CB}$

$\Leftrightarrow 3\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{CD}+2\overrightarrow{CB}$ (quy tắc ba điểm)

$\Leftrightarrow 3\overrightarrow{OB}=4\overrightarrow{CI}$ (do I là trung điểm của BD nên $\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CI}$)

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OB}=\frac{4}{3}\overrightarrow{CI}$

Vậy O là đỉnh của hình bình hành IBON với $\overrightarrow{IN}=\frac{4}{3}\overrightarrow{IC}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có:

$|\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD}|=|3\overrightarrow{MA}|$

$\Leftrightarrow |(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB})+4(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC})-2(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD})|=|3\overrightarrow{MA}|$ (quy tắc ba điểm)

$\Leftrightarrow |3\overrightarrow{MO}+(\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OD})|=|3\overrightarrow{MA}|$

$\Leftrightarrow |3\overrightarrow{MO}|=|3\overrightarrow{MA}|$ (do $\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$)

$\Leftrightarrow |\overrightarrow{MO}|=|\overrightarrow{MA}|$

⇔ MO = MA.

Vậy M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng OA.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Ta có:

$2\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{MA}-3(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{0}$ (quy tắc ba điểm)

$\Leftrightarrow -\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AB}$

Vậy M nằm trên tia AB và AM = 3AB.

Đáp án đúng là: B.

Vì I là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}$.

Ta có:

$2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{0}$.

Vậy M là trung điểm của AI.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên với điểm P thì $\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}=3\overrightarrow{PG}$.

Ta có:

$\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}=3\overrightarrow{AP}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}-3\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 3\overrightarrow{PA}+(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD})=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 3\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PG}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PG}=\overrightarrow{0}$.

Vậy P là trung điểm của AG.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Vì K, H lần lượt là trung điểm của AB, CD nên $\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}=2\overrightarrow{NK};\ \overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}=2\overrightarrow{NH}$.

Do đó ta có:

$\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{NK}+2\overrightarrow{NH}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{NK}+\overrightarrow{NH}=\overrightarrow{0}$

Vậy N là trung điểm của KH.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Xét tứ giác AEMF có: $\widehat{EAF}=\widehat{AEM}=\widehat{MFA}=90^{\circ}$.

Do đó, AEMF là hình chữ nhật.

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: $\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{MA}$.

Do đó ta có: $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MA}$.

Gọi I là trung điểm của AD.

Khi đó, $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{MI}$.

Để $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}$ cùng phương với $\overrightarrow{BC}$ thì $\overrightarrow{MI}$ cùng phương với $\overrightarrow{BC}$

Do đó, $\overrightarrow{MI}$ cùng phương với $\overrightarrow{PQ}$ (do PQ là đường trung bình của tam giác ABC song song với cạnh BC).

Vì M nằm trong tam giác ABC.

Do đó M thuộc đoạn PQ.