10 bài tập Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng, đoạn hay nửa khoảng có lời giải

Đáp án đúng là: C

Xét hàm số f(x) = x$^{3}$ – 3x$^{2}$ – 9x +10 trên đoạn [−2; 2] , ta có: f'(x) = 3x$^{2}$ – 6x – 9.

Có f'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ 3x$^{2}$ – 6x – 9 = 0 $\Leftrightarrow$ x = −1 $\in$ [−2; 2] hoặc x = 3 $\notin$ [−2; 2]

Có f(−2) = 8; f(−1) = 15; f(2) = −12.

Suy ra $\mathop {max}\limits_{\left[ { - 2;\,2} \right]\,} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) = 15$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $y' = 1 - \frac{4}{{{x^2}}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Rightarrow x = 2$ (vì x $\in$ (1; 5)).

Khi đó y(1) = 5; y(2) = 4 và $y\left( 5 \right) = \frac{{29}}{5}$.

Do đó $\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;5} \right]} y = 4$ tại x = 2.

Đáp án đúng là: C

Hàm số đã cho liên tục trên [0; 3]

Ta có $y' = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0$ với ∀x $\in$ [0; 3] .

Có y (0) = −1; $y\left( 3 \right) = \frac{1}{2}$. Do đó $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y(0) = - 1$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $y'=-2\sin2x;\ y'=0 \Leftrightarrow \sin2x=0 \Leftrightarrow x=\frac{k\pi}{2}\ (k\in\mathbb{Z})$.

Vì $x\in[0;\pi]$ nên $0\le \frac{k\pi}{2}\le \pi \Leftrightarrow 0\le k\le 2$.

Mà $k$ là số nguyên nên $k\in\{0;1;2\}$. Do đó, $x\in\left\{0;\frac{\pi}{2};\pi\right\}$.

Do đó, $y(0)=-2;\ y\left(\frac{\pi}{2}\right)=-4;\ y(\pi)=-2$. Vậy $\min_{[0;\pi]} y=-4$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: f'(x) = (2x – 5)e$^{2x}$; f'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ $x = \frac{5}{2}$.

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy $\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) = - \frac{{{e^5}}}{2}$.

Đáp án đúng là: B

$f'\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}$.

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - {x^2} + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Bảng biến thiên

Vậy giá trị lớn nhất là $\frac{1}{2}$ khi x = 1.

Đáp án đúng là: B

Tập xác định: D = ℝ.

Có y' = 2$^{x}$ln2 – 4ln2; y' = 0 $\Leftrightarrow$ 2$^{x}$ln2 – 4ln2 = 0 $\Leftrightarrow$ x = 2.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; 4] bằng 4 – 8ln2 tại x = 2.

Khi đó: a + b + c = 4 + 8 + 2 = 14 .

Đáp án đúng là: C

Tập xác định: D = [−1; 1].

Ta có: $y' = \frac{1}{{2\sqrt {1 + x} }} - \frac{1}{{2\sqrt {1 - x} }}$.

Có y' = 0 $\Leftrightarrow$ $\frac{1}{{2\sqrt {1 + x} }} - \frac{1}{{2\sqrt {1 - x} }} = 0$$\Leftrightarrow \sqrt {1 - x} = \sqrt {1 + x} \Leftrightarrow x = 0$.

Khi đó: $y\left( { - 1} \right) = \sqrt 2 ;y\left( 0 \right) = 2;y\left( 1 \right) = \sqrt 2$.

$\Rightarrow$Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2, giá trị nhỏ nhất bằng $\sqrt 2$.

Đáp án đúng là: D

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y = (x – 1)$^{2}$ + (x + 3)$^{2}$ = 2x$^{2}$ + 4x + 10.

Ta có y' = 4x + 4 ; y' = 0 $\Leftrightarrow$ x = −1.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 8.

Đáp án đúng là: B

Hàm số xác định với ∀x ∈ (1; +∞).

Có $f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$; f'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ x = 0 hoặc x = 2.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có: $\mathop {\min }\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 3$.