10 bài tập Tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số có lời giải

Đáp án đúng là: D

Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = 1$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = 1$.

Suy ra y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{5x + 1}}{{x - 1}} = 5;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{5x + 1}}{{x - 1}} = 5$.

Suy ra y = 5 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Đáp án đúng là: C

Tập xác định D = ℝ\{1}.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \,\infty \,;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \,\infty$, suy ra đồ thị có tiệm cận đứng là x = 1.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{{x^2} + 3x - 1}}{{x + 1}} = - \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{{x^2} + 3x - 1}}{{x + 1}} = + \infty$.

Vậy tiệm cận đứng là: x = −1.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}} = x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{x + 1}} = 0$.

Vậy tiệm cận xiên là: y = x + 1.

Đáp án đúng là: D

Hàm số đa thức bậc hai và ba không có tiệm cận nên loại phương án A và B.

Hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ chỉ có tiệm cận đứng và ngang nên loại phương án C.

Ta có: $y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = x + \frac{1}{{x - 1}}$.

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{1}{{x - 1}}} \right) = 0,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{1}{{x - 1}}} \right) = 0.$$

Vậy hàm số $y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}$ có tiệm cận xiên y = x.

Đáp án đúng là: C

Ta có $y = \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = - x + 1 + \frac{1}{{x - 2}}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( { - x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right) = 0,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( { - x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right) = 0$.

Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là y = −x + 1.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = + \infty ,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = - \infty$.

Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là x = 2.

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là (2; −1).

Đáp án đúng là: B

Ta có: $y = \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{{x^2} - 4}} = \frac{{(x - 2).\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right).\left( {x + 2} \right)}}$ $= \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}$

Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{(x - 2).\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right).\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x + 1}}{{x + 2}} = 2$ nên tiệm cận ngang của đồ thi hàm số là đường thẳng y = 2.

Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{(x - 2).\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right).\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x + 2}} = - \infty$ và

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{(x - 2).\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right).\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{2x + 1}}{{x + 2}} = - \infty$ nên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng x = −2. Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2 - \frac{1}{x}}}{{2 + \frac{4}{x}}} = \frac{2}{2} = 1$.

$\Rightarrow$ y = 1 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{2x - 1}}{{2x + 4}}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{2x - 1}}{{2x + 4}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} \frac{{2x - 1}}{{2x + 4}} = + \infty$ nên x = −2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có $y' = \frac{{10}}{{{{\left( {2x + 4} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne - 2$. Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −2 ) và (−2 ; +∞). Do đó hàm số $y = \frac{{2x - 1}}{{2x + 4}}$ đồng biến trong khoảng (−∞; −10) và (10; +∞).