10 Bài tập Tìm các số hạng của dãy số cho bởi công thức truy hồi và dự đoán công thức tổng quát của dãy số có đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${u}_{1}=\frac{1}{2}=\frac{1}{1+1};{u}_{2}=\frac{1}{3}=\frac{1}{2+1};{u}_{3}=\frac{1}{4}=\frac{1}{3+1};{u}_{4}=\frac{1}{5}=\frac{1}{4+1}.$

Vậy ${u}_{n}=\frac{1}{n+1};n\le 4$ .

Đáp án đúng là: C

Ta nhận thấy các số hạng của dãy u$_{n}$ có cùng quy luật:

u$_{1}$ = 1 = 1$^{2}$; u$_{2}$ = 4 = 2$^{2}$; u$_{3}$ = 9 = 3$^{2}$; u$_{4}$ = 16 = 4$^{2}$; u$_{5}$ = 25 = 5$^{2}$.

Nên ta tìm được số hạng tổng quát của dãy số (u$_{n}$) là u$_{n}$ = n$^{2}$; n ≤ 5.

Đáp án đúng là: D

Ta có: u$_{1}$= 2; u$_{2}$ = u$_{1}$ + 3 = 2 + 3 = 5; u$_{3}$ = u$_{2}$ + 3 = 5 + 3 = 8.

Do đó, số hạng thứ 3 của dãy số là u$_{3}$ = 8.

Đáp án đúng là: C

Ta có: u$_{1}$= 1; u$_{2}$ = 2u$_{1}$ + 1 = 2.1 + 1 = 3;

u$_{3}$ = 2u$_{2}$ + 1 = 2.3 + 1= 7; u$_{4}$ = 2u$_{3}$ + 1 = 2.7 + 1= 15.

Vậy u$_{4}$ = 15.

Đáp án đúng là: D

Ta tính được u$_{2}$ = $\frac{1}{1+1}\cdot (0+1)=\frac{1}{2}$

Ta có:

u$_{n + 1}$.(n + 1) = (u$_{n}$ + 1).n = n + u$_{n}$.n;

u$_{n}$.n = (u$_{n – 1}$ + 1).(n – 1);

…

u$_{2}$.2 = (u$_{1}$ + 1).1 = 1 + u$_{1}$.1

Þ u$_{n + 1}$.(n + 1) = n + (u$_{n – 1}$ + 1).(n – 1) = n + (n – 1) + u$_{n – 1}$.(n – 1);

u$_{n-1}$.(n – 1) = (n – 2) + (n – 3) + u$_{n – 3}$.(n – 3);

…

u$_{4}$.4 = 3 + 2 + u$_{2}$.2 = 3 + 2 + 1;

u$_{3}$.3 = 2 + 1 + u$_{1}$.1 = 2 + 1;

+) Nếu n + 1 chia hết cho 2 thì

u$_{n + 1}$.(n + 1) = n + (n – 1) + (n – 2) + … + 2 + 1 = $\frac{n.(n+1)}{2}$ .

Suy ra ${u}_{n+1}=\frac{n}{2}$.

+) Nếu n + 1 không chia hết cho 2 thì:

u$_{n + 1}$.(n + 1) = n + (n – 1) + (n – 2) + … + 3 + 2 + 1 =$\frac{n.(n+1)}{2}$ .

Suy ra ${u}_{n+1}=\frac{n}{2}$ .

Suy ra công thức tổng quát ${u}_{n+1}=\frac{n}{2}$ đúng với cả 2 trường hợp.

Vậy số hạng thứ 11 của dãy là: ${u}_{11}=\frac{10}{2}=5$ .

Đáp án đúng là: B

Ta có:

u$_{n + 1}$ = u$_{n}$ + 2n;

u$_{n}$ = u$_{n – 1}$ + 2(n – 1);

u$_{n – 1}$ = u$_{n – 2}$ + 2(n – 2);

…

u$_{2}$ = u$_{1}$ + 2.1;

Khi đó u$_{n + 1}$ + u$_{n}$ + u$_{n – 1}$ + … + u$_{2}$

= u$_{n}$ + u$_{n – 1}$ + … + u$_{2}$ + u$_{1}$ + 2(n + (n – 1) + (n – 2) + … + 1)

Do đó ${u}_{n+1}={u}_{1}+n(n+1)=\frac{1}{2}+n(n+1).$

Hay dãy s ố có số hạng tổng quát là: ${u}_{n}=\frac{1}{2}+n(n-1).$

Với n = 4 thì ${u}_{n}=\frac{25}{2}$ .

Vậy đáp án đúng là B.

Đáp án đúng là: C

Ta có:

u$_{1}$ = 1;

u$_{2}$ = u$_{1}$ + 2$^{1}$;

u$_{3}$ = u$_{2}$ + 2$^{2}$;

…

u$_{n}$ = u$_{n-1}$ + 2$^{n – 1}$.

Þ u$_{1}$ + u$_{2}$ + … + u$_{n}$ = u$_{1}$ + … + u$_{n – 1}$ + (2$^{0}$ + 2$^{1}$ + … + 2$^{n – 1}$)

Do đó ${u}_{n}=\frac{1.(1-{2}^{n})}{1-2}={2}^{n}-1$ .

Vậy, công thức tổng quát của dãy số là: u$_{n}$ = 2$^{n}$ – 1.

Đáp án đúng là: B

u$_{1}$ = 2;

u$_{2}$ = 4u$_{1}$= 8 = 2$^{3}$;

u$_{3}$ = 4u$_{2}$= 32 = 2$^{5}$;

u$_{4}$ = 4u$_{3}$= 128= 2$^{7}$;

…

Số hạng tổng quát của (u$_{n}$) là u$_{n}$ = 2$^{2n – 1}$.

Ta có: 2$^{9}$ < 1000 < 2$^{10}$.

Vậy số hạng cần tìm là u$_{9}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: u$_{1}$ = 2; u$_{2}$ = u$_{1}$+ 2 = 4; u$_{3}$ = u$_{2}$ + 2 = 6; …

Ta thấy u$_{n}$ là dãy số có công thức tổng quát: u$_{n}$ = 2n.

Do đó, số hạng thứ 7 của dãy số là u$_{7}$ = 2.7 = 14.

Đáp án đúng là: C

u$_{1}$ = – 1; u$_{2}$ = –3u$_{1}$ = 3; u$_{3}$ = –3u$_{2}$ = –9.