10 bài tập Tích vô hướng và ứng dụng có lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 1.2 + \left( { - 2} \right).\left( { - 4} \right) + 1.\left( { - 2} \right) = 8$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{\left( { - 1} \right).0 + 2.\left( { - 2} \right) + 0.1}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {0^2}} .\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = - \frac{4}{5}$.

Đáp án đúng là: B

Hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0$

$\Leftrightarrow 3.2 + \left( { - 2} \right).m + m.\left( { - 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow 6 - 3m = 0 \Leftrightarrow m = 2$.

Đáp án đúng là: A

Ta có:$\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} \Leftrightarrow \cos 60^\circ = \frac{{ - m}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {m^2}} }} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{{ - m}}{{\sqrt 2 .\sqrt {1 + {m^2}} }}$.

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{m < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{m^2} - 1 = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow m = - 1$.

</>

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1;5; - 2} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {5;4; - 1} \right)$.

Ta có $\cos \widehat {BAC} = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{5 + 20 + 2}}{{\sqrt {30} .\sqrt {42} }} = \frac{9}{{2\sqrt {35} }}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow a + 2\overrightarrow b = \left( { - 3;4;3} \right)$.

Do đó $\overrightarrow a .\left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right) = 1.\left( { - 3} \right) + 2.4 + 3.3 = 14$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow {AM} = \left( {x - 1;1; - 2} \right),\overrightarrow {BC} = \left( { - 3; - 2;2} \right)$.

Ta có AM BC $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = 0$

(x – 1).(−3) + 1.(−2) + (−2).2 = 0 x – 1 = −2 x = −1.

Đáp án đúng là: B

Gọi H là hình chiếu của I trên trục Ox. Khi đó H(2; 0; 0).

Khi đó khoảng cách từ I đến trục Ox bằng IH $= \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2}} = 5$.

A. Bài 9. Cho tam giác ABC biết A(2; −1; 3) và trọng tâm của tam giác có tọa độ là G(2; 1; 0). Khi đó $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}$ có tọa độ là

A. (0; −9; 9);

B. (0; 6; 9);

C. (0; 9; −9);

D. (0; 6; −9).

Đáp án đúng là: D

B. Gọi I là trung điểm của BC.

C. Khi đó $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AI} = 2.\frac{3}{2}\overrightarrow {AG} = 3\overrightarrow {AG} = \left( {0;6; - 9} \right)$.

D. Bài 10. Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow a = \left( {2;m + 1; - 1} \right)$ và $\overrightarrow b = \left( {1; - 3;2} \right)$. Với giá trị nào của m sau đây thì $\left| {\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b } \right| = 3$?

A. 4;

B. 0;

C. 2;

D. −3.

Đáp án đúng là: B

A. Ta có $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 2.1 + \left( {m + 1} \right).\left( { - 3} \right) + \left( { - 1} \right).2 = - 3\left( {m + 1} \right)$.

B. Để $\left| {\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b } \right| = 3$$\Leftrightarrow 3\left| {m + 1} \right| = 3$$\Leftrightarrow \left| {m + 1} \right| = 1$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 = 1\\m + 1 = - 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = - 2\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: D

Gọi I là trung điểm của BC.

Khi đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}=2.\frac{3}{2}\overrightarrow{AG}=3\overrightarrow{AG}=(0;6;-9)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=2.1+(m+1).(-3)+(-1).2=-3(m+1)$.

Để $|\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}|=3$$\Leftrightarrow 3|m+1|=3$$\Leftrightarrow |m+1|=1$$\Leftrightarrow [\begin{matrix}m+1=1 \\ m+1=-1\end{matrix}$$\Leftrightarrow [\begin{matrix}m=0 \\ m=-2\end{matrix}$.