10 bài tập Tích phân của các hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối có lời giải

Đáp án đúng là: A

$I = \int\limits_0^2 {\left| {x - 1} \right|dx}$$= \int\limits_0^1 {\left| {x - 1} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {x - 1} \right|dx}$$= \int\limits_0^1 {\left( {1 - x} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {x - 1} \right)dx}$

$= \left. {\left( {x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_1^2 = 1$.

Đáp án đúng là: D

$I = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 3x + 2} \right|dx}$$= \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)dx} - \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)dx}$$= \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_0^1 - \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_1^2 = \frac{5}{6} - \left( { - \frac{1}{6}} \right) = 1$.

Đáp án đúng là: D

+) $\frac{\pi }{4} \le x \le \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \frac{\pi }{2} \le 2x \le \pi \Rightarrow \sin 2x \ge 0$.

+) $\frac{\pi }{2} \le x \le \frac{{3\pi }}{4} \Leftrightarrow \pi \le 2x \le \frac{{3\pi }}{2} \Rightarrow \sin 2x \le 0$.

Khi đó $I = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{{3\pi }}{4}} {\left| {\sin 2x} \right|dx}$$= \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx} - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{{3\pi }}{4}} {\sin 2xdx}$$= \left. { - \frac{1}{2}\cos 2x} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} + \left. {\frac{1}{2}\cos 2x} \right|_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{{3\pi }}{4}} = 1$.

Đáp án đúng là: B

Từ đáp án ta thấy a ≥ 1.

$I = \int\limits_{ - 1}^a {\left| {{x^2} - x} \right|dx}$$= \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^2} - x} \right)dx} - \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - x} \right)dx} + \int\limits_1^a {\left( {{x^2} - x} \right)dx}$

$= \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_{ - 1}^0 - \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^a$$= \frac{7}{6} + \frac{{{a^3}}}{3} - \frac{{{a^2}}}{2}$.

Theo đề có $\frac{7}{6} + \frac{{{a^3}}}{3} - \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{11}}{6}$ 2a$^{3}$ – 3a$^{2}$ – 4 = 0 (a − 2)(2a$^{2}$ + a + 2) = 0 a = 2.

Đáp án đúng là: A

Do x$^{3}$ + x$^{2}$ – x – 1 = (x – 1)(x + 1)$^{2}$ ≤ 0, ∀x [−1; 1].

Khi đó $I = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{x^3} + {x^2} - x - 1} \right|dx}$$= - \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{x^3} + {x^2} - x - 1} \right)dx} = - \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \frac{4}{3}$.

Suy ra a = 4; b = 3. Do đó a + b = 7.

Đáp án đúng là: D

Vì x$^{4}$ + x$^{2}$ + 1 ≥ 0, ∀x [−1; 2018] $\Rightarrow \int\limits_{ - 1}^{2018} {\left| {{x^4} + {x^2} + 1} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^{2018} {\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right)dx}$.

Đáp án đúng là: C

Do x – 2 < 0, ∀x [0; 1].

Khi đó $I = \int\limits_0^1 {\left| {x - 2} \right|dx} = - \int\limits_0^1 {\left( {x - 2} \right)dx} = - \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - 2x} \right)} \right|_0^1 = \frac{3}{2}$.

</>

Đáp án đúng là: D

$\int\limits_0^2 {\sqrt {{x^2} - 2x + 1} } dx$$= \int\limits_0^2 {\left| {x - 1} \right|} dx$$= \int\limits_0^1 {\left( {1 - x} \right)} dx + \int\limits_0^2 {\left( {x - 1} \right)} dx$$= \left. {\left( {x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_1^2 = 1$.

Đáp án đúng là: A

$\int\limits_0^8 {\left| {{x^2} - 6x} \right|dx}$$= \int\limits_0^6 {\left| {{x^2} - 6x} \right|dx} + \int\limits_6^8 {\left| {{x^2} - 6x} \right|dx}$$= \int\limits_0^6 {\left( { - {x^2} + 6x} \right)dx} + \int\limits_6^8 {\left( {{x^2} - 6x} \right)dx}$

$= \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{6{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^6 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{6{x^2}}}{2}} \right)} \right|_6^8 = \frac{{152}}{3}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $I = \int\limits_0^2 {\left| {2x - 2} \right|dx}$$= \int\limits_0^1 {\left( {2 - 2x} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {2x - 2} \right)dx}$$= \left. {\left( {2x - {x^2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {{x^2} - 2x} \right)} \right|_1^2 = 2$.