10 Bài tập Thể tích lăng trụ, khối hộp (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Diện tích tam giác đều cạnh a là $S=\frac{{a}^{2}\sqrt{3}}{4}.$

Chiều cao của lăng trụ h = AA' = a.

Vậy thể tích khối lăng trụ là ${V}_{ABC.{A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}}=S.h=\frac{{a}^{3}\sqrt{3}}{4}.$

Đáp án đúng là: B

Diện tích tam giác ABC là ${S}_{ΔABC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat{BAC}=\frac{{a}^{2}\sqrt{3}}{2}$ .

Vậy thể tích khối lăng trụ ${V}_{ABC.A'B'C'}={S}_{ΔABC}.A{A}^{'}={a}^{3}\sqrt{15}.$

Đáp án đúng là: A

Đặt cạnh của hình lập phương là x (x > 0).

Khi đó, ta có AA' = x; A'C' = $x\sqrt{2}$ .

Xét DAA'C' vuông tại A', có $A{C}^{'}=\sqrt{A{{A}^{'}}^{2}+{A}^{'}{{C}^{'}}^{2}}=x\sqrt{3}=a\sqrt{3}\Rightarrow x=a$ .

Vậy thể tích của hình lập phương là: V = a$^{3}$.

Đáp án đúng là: A

Xét hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ nhật.

Theo bài ra, ta có $\{\begin{matrix}{S}_{ABCD}=10{\text{cm}}^{\text{2}} \\ {S}_{AB{B}^{'}{A}^{'}}=20{\text{cm}}^{2} \\ {S}_{AD{D}^{'}{A}^{'}}=32{\text{cm}}^{2}\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}AB.AD=10 \\ AB.A{A}^{'}=20 \\ A{A}^{'}.AD=32\end{matrix}.$

Nhân vế theo vế, ta được (AA'.AB.AD)$^{2}$ = 6400 Þ AA'.AB.AD = 80 cm$^{3}$.

Đáp án đúng là: A

Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng B'C'.

Tam giác ABC cân tại A Þ tam giác A'B'C' cân tại A' Þ A'M ^ B'C'.

Lại có B'C' ^ AA' (do AA' ^ (A'B'C')).

Từ đó suy ra B'C' ^ (AA'M) Þ B'C' ^ AM.

Do đó góc giữa mặt phẳng (AB'C') và mặt phẳng (A'B'C') là $\widehat{AM{A}^{'}}=60^{\circ}$ .

Vì tam giác A'B'C' cân tại A', M là trung điểm của đoạn thẳng B'C' nên A'M ^ B'C' và $\widehat{{B}^{'}{A}^{'}M}=60^{\circ}$ .

Tam giác vuông A'B'M, có ${A}^{'}M={A}^{'}{B}^{'}.\cos \widehat{M{A}^{'}{B}^{'}}=a.\cos {60}^{0}=\frac{a}{2}.$

Tam giác vuông AA'M, có $A{A}^{'}={A}^{'}M.\tan \widehat{AM{A}^{'}}=\frac{a}{2}.\tan {60}^{0}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Diện tích tam giác ${S}_{ΔABC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat{BAC}=\frac{{a}^{2}\sqrt{3}}{4}.$

Vậy ${V}_{ABC.{A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}}={S}_{ΔABC}.A{A}^{'}=\frac{3{a}^{3}}{8}.$

Đáp án đúng là: B

Vì H là trung điểm của AB nên $AH=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}$ .

Theo giả thiết, ta có A'H ^ (ABCD) Þ A'H ^ AB.

Tam giác vuông A'HA, có ${A}^{'}H=\sqrt{A{{A}^{'}}^{2}-A{H}^{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Diện tích hình vuông S$_{ABCD}$ = a$^{2}$.

Vậy ${V}_{ABCD.{A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}{D}^{'}}={S}_{ABCD}.{A}^{'}H=\frac{{a}^{3}\sqrt{3}}{2}.$

Đáp án đúng là: B

Từ giả thiết, ta có A'O ^ (ABC).

Diện tích tam giác đều ${S}_{ΔABC}=\frac{{a}^{2}\sqrt{3}}{4}$ . Chiều cao khối lăng trụ A'O = a.

Vậy thể tích khối lăng trụ $V={S}_{ΔABC}.{A}^{'}O=\frac{{a}^{3}\sqrt{3}}{4}.$

Đáp án đúng là: C

Gọi I là trung điểm BC.

Vì DABC vuông tại A nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp DABC.

Từ A'A = A'B = A'C = a, suy ra hình chiếu vuông góc của A' trên mặt đáy (ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Suy ra A'I ^ (ABC).

Tam giác ABC, có $BC=\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}=a\sqrt{2}\Rightarrow BI=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Tam giác vuông A'IB, có ${A}^{'}I=\sqrt{{A}^{'}{B}^{2}-B{I}^{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

Diện tích tam giác ABC là ${S}_{ΔABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{{a}^{2}}{2}$ .

Vậy ${V}_{ABC.A'B'C'}={S}_{ΔABC}.{A}^{'}I=\frac{{a}^{3}\sqrt{2}}{4}.$

Đáp án đúng là: D

Ta có thể tích khối chóp ${V}_{A.{A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}}=\frac{1}{3}{V}_{ABC.{A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}}.$

Suy ra ${V}_{A.BC{B}^{'}{C}^{'}}=\frac{2}{3}{V}_{ABC.{A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}}\Rightarrow {V}_{ABC.{A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}}=\frac{3}{2}{V}_{A.BC{B}^{'}{C}^{'}}=\frac{3}{2}.2{a}^{3}=3{a}^{3}.$

Đáp án đúng là: C

Gọi S là diện tích mặt đáy ABCD và h là chiều cao khối hộp.

Thể tích khối hộp V$_{ABCD.A'B'C'D'}$ = S.h = 12 cm$^{3}$.

Chia khối hộp ABCD.A'B'C'D' thành khối tứ diện AB'CD' và khối chóp: A.A'B'D', C.B'C'D', B'.BAC, D'.DAC (như hình vẽ).

Ta thấy bốn khối chóp này có thể tích bằng nhau và cùng bằng $\frac{1}{3}.\frac{S}{2}.h.$

Suy ra tổng thể tích 4 khối chóp bằng ${V}^{'}=\frac{2}{3}Sh.$

Vậy thể tích khối tứ diện ${V}_{A{B}^{'}C{D}^{'}}=Sh-\frac{2}{3}Sh=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}.12=4{\text{cm}}^{3}.$