10 Bài tập Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ba đường thẳng đồng quy (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: MJ ⊥ IK tại J nên MJ là đường cao của ∆MIK.

Mà N nằm trên đường thẳng qua I và vuông góc với MK nên IN ⊥ MK.

Do đó IN là đường cao của ΔMIK.

Xét ∆MIK có hai đường cao IN và MJ cắt nhau tại N nên N là trực tâm của ΔMIK.

Suy ra KN là đường cao của ∆MIK hay KN ⊥ MI.

Đáp án đúng là: D

Gọi K là giao điểm của DE và BC.

∆ABC vuông cân tại A nên $\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = 45^\circ$ hay $\widehat {ABC} = \widehat {ECK} = 45^\circ .$

Vì AD = AE nên ∆ADE cân tại A.

Mà AB ⊥ AC hay AE ⊥ AD suy ra ∆ADE vuông cân tại A.

Suy ra $\widehat {AED} = \widehat {ADE} = 45^\circ$ do đó $\widehat {CEK} = \widehat {AED} = 45^\circ$ (hai góc đối đỉnh).

Xét ∆EKC có: $\widehat {CEK} + \widehat {EKC} + \widehat {ECK} = 180^\circ$ (tổng ba góc của một tam giác)

Hay $45^\circ + \widehat {EKC} + 45^\circ = 180^\circ$

Suy ra $\widehat {EKC} = 180^\circ - \left( {45^\circ + 45^\circ } \right) = 90^\circ$

Do đó EK ⊥ KC hay DK ⊥ BC.

Xét ∆BCD có:

AC ⊥ BD nên AC là đường cao của ∆BCD;

DK ⊥ BC nên DK là đường cao của ∆BCD;

Mà AC giao với DK tại E.

Suy ra E là trực tâm của ∆BCD nên BE ⊥ CD.

Vậy có 3 khẳng định đúng. Ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Xét ∆MPN cân tại M có MS là đường phân giác (giả thiết) nên MS đồng thời là đường cao. Suy ra MS ⊥ PN

∆MPN có MS ⊥ PN, PQ ⊥ MN và MS cắt PQ tại K nên K là trực tâm của ∆MPN.

Do đó NK ⊥ MP.

Vậy cả A, B, C đều là khẳng định đúng. Ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là:D

Vì AB ⊥ AC và DK // AB nên DK ⊥ AC.

Xét ∆ADC có: DK ⊥ AC, CH ⊥ AD và DK cắt CH tại K nên K là trực tâm ∆ADC.

Suy ra AK ⊥ CD và ba đường thẳng AK, DK, BC đồng quy.

Vậy cả A, B, C đều là khẳng định đúng. Ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

⦁ Trong ∆AHC vuông tại H, dễ dàng chứng minh được $AI = CI = HI = \frac{1}{2}AC.$

Do đó I cách đều ba đỉnh của tam giác nên I là giao điểm ba trung trực của ∆AHC.

⦁ Ta có AH ⊥ BC, DI ⊥ BC suy ra AH // DI nên $\widehat {KDI} = \widehat {HKD}$ (so le trong);

AH ⊥ BC, IK ⊥ AK suy ra IK // BC nên $\widehat {HDK} = \widehat {IKD}$ (so le trong).

Xét ∆KHD và ∆DIK có:

$\widehat {HKD} = \widehat {KDI};$ KD là cạnh chung; $\widehat {HDK} = \widehat {IKD}$

Do đó ∆KHD = ∆DIK (g.c.g).

Suy ra HK = ID, HD = IK (các cặp cạnh tương ứng)

Xét ∆KDH (vuông tại H) và ∆ICD (vuông tại D) có:

HK = ID (chứng minh trên);

HD = DC (do DI là trung trực của HC).

Do đó ∆KDH = ∆IDC (hai cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat {KDH} = \widehat {ICD}$ (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên DK // AC.

Lại có AB ⊥ AC nên DK ⊥ AB

Trong ∆ABD có: AH ⊥ BD (giả thiết), DK ⊥ AB và AH cắt DK tại K

Do đó K là trực tâm ∆ABD, suy ra BK ⊥ AD.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

⦁ Trong ∆ABC có NK // AB mà AB ⊥ AC nên NK ⊥ AC.

Xét ∆ANC có: AH ⊥ NC, NK ⊥ AC và AH và NK giao nhau tại M.

Do đó M là trực tâm của ∆ANC suy ra CM là đường cao của ∆ANC nên CM ⊥ AN.

⦁ Ta có NK, AH và CM là ba đường cao của tam giác ANC nên đồng quy tại M.

Vậy khẳng định (I), (II) và (III) đều đúng. Ta chọn đáp án A.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là:B

Nếu LP ⊥ MN, MQ ⊥ LN thì S là trực tâm của ∆LMN. Do đó MS ⊥ PN.

Đáp án đúng là: D

Do MA = MC và $\widehat {AMC} = 90^\circ$ nên tam giác AMC vuông cân tại M.

$\Rightarrow \widehat {ACM} = \widehat {CAM} = 45^\circ$ (tính chất của tam giác cân)

$\Rightarrow \widehat {ACM} = \widehat {DCE} = 45^\circ$ (đối đỉnh)

Tương tự ta có ∆BMD vuông cân tại M

$\Rightarrow \widehat {MDB} = \widehat {MDB} = 45^\circ$ (tính chất của tam giác cân)

Từ đó trong ∆DCE: $\widehat {DCE} = \widehat {MDB} = 45^\circ$ hay $\widehat {DCE} = \widehat {CDE} = 45^\circ$

Suy ra $\widehat {CED} = 90^\circ$ nên AC ⊥ BD hay AE ⊥ BD.

Trong tam giác ABD, hai đường cao AE và DM cắt nhau nên C là trực tâm của tam giác ABD.

Suy ra BC ⊥ AD.

Ta có AE, DM và BC là ba đường cao của tam giác ABD nên đồng quy tại C.

Vậy ta thấy rằng chỉ có phương án D sai.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: AB ⊥ AC và DK // AB nên DK ⊥ AC (quan hệ từ vuông góc đến song song).

Lại có: CH ⊥ AD và DK giao CH tại K.

Do đó K là trực tâm của ∆ADC nên AK ⊥ CD.

Vậy phương án D là sai.

Đáp án đúng là: C

ΔMPQ vuông tại M có MQ = MP nên là tam giác vuông cân tại M, do đó $\widehat {MQP} = 45^\circ .$

Suy ra $\widehat {SQN} = \widehat {MQP} = 45^\circ$ (đối đỉnh)

Tương tự, ΔMNR vuông cân tại M có $\widehat {MNR} = 45^\circ .$

Trong ΔNSQ có: $\widehat {SQN} = 45^\circ$ và $\widehat {SNQ} = 45^\circ$

Do đó $\widehat {QSN} = 90^\circ$nên QS ⊥ NS hay PS ⊥ NR.

Trong ΔNPR có các đường cao PS và MN cắt nhau tại Q.

Suy ra Q là trực tâm ΔNPR.

Ta có: MN, PS và RQ là ba đường cao của tam giác NPR nên đồng quy tại Q.