10 Bài tập Sử dụng tính chất lũy thừa để biến đổi, rút gọn các biểu thức chứa biến (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${a}^{\frac{2}{3}}.\sqrt{a}={a}^{\frac{2}{3}}.{a}^{\frac{1}{2}}={a}^{\frac{2}{3}+\frac{1}{2}}={a}^{\frac{7}{6}}.$

Đáp án đúng là: B

Ta có: $Q=\sqrt[3]{{x}^{2}\sqrt{{x}^{3}}}={({x}^{2}.{x}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{3}}={({x}^{2+\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{3}}={({x}^{\frac{7}{2}})}^{\frac{1}{3}}={x}^{\frac{7}{2}.\frac{1}{3}}={x}^{\frac{7}{6}}.$

Đáp án đúng là: A

Với x ≥ 0 ta có: $\sqrt{\sqrt[3]{x}}=\sqrt[2\cdot 3]{x}=\sqrt[6]{x}.$

Đáp án đúng là: C

Ta có: $N={a}^{\sqrt{3}}.{(\frac{1}{a})}^{\sqrt{3}-1}={a}^{\sqrt{3}}.{({a}^{-1})}^{\sqrt{3}-1}$$={a}^{\sqrt{3}}.{a}^{(-1).(\sqrt{3}-1)}$

$={a}^{\sqrt{3}}.{a}^{1-\sqrt{3}}={a}^{\sqrt{3}+1-\sqrt{3}}=a.$

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\frac{\sqrt[3]{{a}^{2}\sqrt{a}}}{{a}^{3}}=\frac{{({a}^{2}.{a}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}}}{{a}^{3}}=\frac{{({a}^{2+\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}}}{{a}^{3}}=\frac{{({a}^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{3}}}{{a}^{3}}=\frac{{a}^{\frac{5}{2}.\frac{1}{3}}}{{a}^{3}}=\frac{{a}^{\frac{5}{6}}}{{a}^{3}}={a}^{\frac{5}{6}-3}={a}^{-\frac{13}{6}}.$

Mà $\frac{\sqrt[3]{{a}^{2}\sqrt{a}}}{{a}^{3}}={a}^{α}$ nên $α=-\frac{13}{6}$ ∈ (–3; –2).

Đáp án đúng là: B

Ta có: $A=\frac{\sqrt[3]{{a}^{8}}.{a}^{\frac{7}{3}}}{{a}^{5}.\sqrt[4]{{a}^{-3}}}=\frac{{a}^{\frac{8}{3}}.{a}^{\frac{7}{3}}}{{a}^{5}.{a}^{-\frac{3}{4}}}=\frac{{a}^{\frac{8}{3}+\frac{7}{3}}}{{a}^{5-\frac{3}{4}}}=\frac{{a}^{5}}{{a}^{\frac{17}{4}}}={a}^{5-\frac{17}{4}}={a}^{\frac{3}{4}}.$

Mà $A={a}^{\frac{m}{n}}$ , trong đó m, n ∈ ℕ$^{*}$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản.

Suy ra m = 3, n = 4 và m$^{2}$ + n$^{2}$ = 25.

Đáp án đúng là: C

Ta có: 2$^{x}$ + 2$^{–x}$ = m nên m$^{2}$ = (2$^{x}$ + 2$^{–x}$)$^{2}$ = 4$^{x}$ + 2 + 4$^{–x}$.

Suy ra 4$^{x}$ + 4$^{–x}$ = m$^{2}$ – 2.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $K=\frac{{a}^{\frac{1}{3}}\sqrt{b}+{b}^{\frac{1}{3}}\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}}=\frac{{a}^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{2}}+{b}^{\frac{1}{3}}{a}^{\frac{1}{2}}}{{a}^{\frac{1}{6}}+{b}^{\frac{1}{6}}}$

$=\frac{{a}^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}({b}^{\frac{1}{6}}+{a}^{\frac{1}{6}})}{{a}^{\frac{1}{6}}+{b}^{\frac{1}{6}}}={a}^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{ab}.$