TopStudy

Đáp án và lời giải

10 Bài tập Rút gọn biểu thức có chứa các phép toán cộng, trừ, nhân, chia phân thức (có lời giải)

Về trang đề

Câu 1

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Đáp án đúng là: A

Ta có:

1−2x+11−x2−2x2−1=(1−2x+1):(1−x2−2x2−1)\frac{{1 - \frac{2}{{x + 1}}}}{{1 - \frac{{{x^2} - 2}}{{{x^2} - 1}}}} = \left( {1 - \frac{2}{{x + 1}}} \right):\left( {1 - \frac{{{x^2} - 2}}{{{x^2} - 1}}} \right)

=x+1−2x+1:x2−1−x2+2x2−1= \frac{{x + 1 - 2}}{{x + 1}}:\frac{{{x^2} - 1 - {x^2} + 2}}{{{x^2} - 1}}

=x−1x+1:1x2−1=x−1x+1.x2−11= \frac{{x - 1}}{{x + 1}}:\frac{1}{{{x^2} - 1}} = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}.\frac{{{x^2} - 1}}{1}

=x−1x+1.(x−1)(x+1)1=(x−1)2= \frac{{x - 1}}{{x + 1}}.\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{1} = {\left( {x - 1} \right)^2}

Do đó ta chọn đáp án A.

Câu 2

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: B

Đáp án đúng là: B

Ta có:

A=(x2−1)(1x−1−1x+1)−1A = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right) - 1

=(x2−1)(x+1−x+1x2−1)−1= \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {\frac{{x + 1 - x + 1}}{{{x^2} - 1}}} \right) - 1

=(x2−1)(2x2−1)−1= \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {\frac{2}{{{x^2} - 1}}} \right) - 1

= 2 – 1

= 1

Do đó ta chọn đáp án B.

Câu 3

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Đáp án đúng là: C

Ta có:

(2x3x+1−1):(1−8x29x2−1)\left( {\frac{{2x}}{{3x + 1}} - 1} \right):\left( {1 - \frac{{8{x^2}}}{{9{x^2} - 1}}} \right)

=2x−3x−13x+1:9x2−1−8x29x2−1= \frac{{2x - 3x - 1}}{{3x + 1}}:\frac{{9{x^2} - 1 - 8{x^2}}}{{9{x^2} - 1}}

=−x−13x+1:x2−19x2−1= \frac{{ - x - 1}}{{3x + 1}}:\frac{{{x^2} - 1}}{{9{x^2} - 1}}

=−(x+1)3x+1:(x−1)(x+1)(3x+1)(3x−1)= \frac{{ - \left( {x + 1} \right)}}{{3x + 1}}:\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right)}}

=−(x+1)3x+1.(3x+1)(3x−1)(x−1)(x+1)= \frac{{ - \left( {x + 1} \right)}}{{3x + 1}}.\frac{{\left( {3x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}

=−(3x−1)x−1=1−3xx−1= \frac{{ - \left( {3x - 1} \right)}}{{x - 1}} = \frac{{1 - 3x}}{{x - 1}}

Do đó ta chọn đáp án C.

Câu 4

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: B

Đáp án đúng là: B

Ta có:

A=(1x2+x−2−xx+1):(1x+x−2)A = \left( {\frac{1}{{{x^2} + x}} - \frac{{2 - x}}{{x + 1}}} \right):\left( {\frac{1}{x} + x - 2} \right)

=(1x(x+1)−2−xx+1):(1x+x2x−2xx)= \left( {\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{2 - x}}{{x + 1}}} \right):\left( {\frac{1}{x} + \frac{{{x^2}}}{x} - \frac{{2x}}{x}} \right)

=(1x(x+1)−x(2−x)x+1):(1+x2−2xx)= \left( {\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{x\left( {2 - x} \right)}}{{x + 1}}} \right):\left( {\frac{{1 + {x^2} - 2x}}{x}} \right)

=1−2x+x2x(x+1):1−2x+x2x= \frac{{1 - 2x + {x^2}}}{{x\left( {x + 1} \right)}}:\frac{{1 - 2x + {x^2}}}{x}

=1−2x+x2x(x+1).x1−2x+x2= \frac{{1 - 2x + {x^2}}}{{x\left( {x + 1} \right)}}.\frac{x}{{1 - 2x + {x^2}}}

=1x+1= \frac{1}{{x + 1}}

Do đó ta chọn đáp án B.

Câu 5

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: D

Đáp án đúng là: D

Ta có:

B=x4+1x3−1−xxx2+x+1−2x−1=(x4+1x3−1−x):(xx2+x+1−2x−1)B = \frac{{\frac{{{x^4} + 1}}{{{x^3} - 1}} - x}}{{\frac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{2}{{x - 1}}}} = \left( {\frac{{{x^4} + 1}}{{{x^3} - 1}} - x} \right):\left( {\frac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{2}{{x - 1}}} \right)

=(x4+1x3−1−x(x3−1)x3−1):(x(x−1)x3−1−2(x2+x+1)x3−1)= \left( {\frac{{{x^4} + 1}}{{{x^3} - 1}} - \frac{{x\left( {{x^3} - 1} \right)}}{{{x^3} - 1}}} \right):\left( {\frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{{x^3} - 1}} - \frac{{2\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{{x^3} - 1}}} \right)

=x4+1−x4+xx3−1:x2−x−2x2−2x−2x3−1= \frac{{{x^4} + 1 - {x^4} + x}}{{{x^3} - 1}}:\frac{{{x^2} - x - 2{x^2} - 2x - 2}}{{{x^3} - 1}}

=x+1x3−1:−x2−3x−2x3−1= \frac{{x + 1}}{{{x^3} - 1}}:\frac{{ - {x^2} - 3x - 2}}{{{x^3} - 1}}

=x+1x3−1.x3−1−x2−3x−2= \frac{{x + 1}}{{{x^3} - 1}}.\frac{{{x^3} - 1}}{{ - {x^2} - 3x - 2}}

=x+1−x2−3x−2=x+1−(x+1)(x+2)= \frac{{x + 1}}{{ - {x^2} - 3x - 2}} = \frac{{x + 1}}{{ - \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}

=−1x+2= - \frac{1}{{x + 2}}

Do đó ta chọn đáp án D.

Câu 6

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Đáp án đúng là: B

Ta có:

B=(1x−2−2x4−x2+12+x)(2x−1)B = \left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{{2x}}{{4 - {x^2}}} + \frac{1}{{2 + x}}} \right)\left( {\frac{2}{x} - 1} \right)

=(1x−2+2xx2−4+12+x)2−xx= \left( {\frac{1}{{x - 2}} + \frac{{2x}}{{{x^2} - 4}} + \frac{1}{{2 + x}}} \right)\frac{{2 - x}}{x}

=(x+2x2−4+2xx2−4+x−2x2−4)2−xx= \left( {\frac{{x + 2}}{{{x^2} - 4}} + \frac{{2x}}{{{x^2} - 4}} + \frac{{x - 2}}{{{x^2} - 4}}} \right)\frac{{2 - x}}{x}

=x+2+2x+x−2x2−4.2−xx= \frac{{x + 2 + 2x + x - 2}}{{{x^2} - 4}}.\frac{{2 - x}}{x}

=4x(x+2)(x−2).−(x−2)x= \frac{{4x}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}.\frac{{ - \left( {x - 2} \right)}}{x}

=−4x+2= \frac{{ - 4}}{{x + 2}}

Do đó ta chọn đáp án B.

Câu 7

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Đáp án đúng là: A

Ta có:

B=1+2x−11+2xx2+1=(1+2x−1):(1+2xx2+1)B = \frac{{1 + \frac{2}{{x - 1}}}}{{1 + \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}}} = \left( {1 + \frac{2}{{x - 1}}} \right):\left( {1 + \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}} \right)

=x−1+2x−1:x2+1+2xx2+1= \frac{{x - 1 + 2}}{{x - 1}}:\frac{{{x^2} + 1 + 2x}}{{{x^2} + 1}}

=x+1x−1:(x+1)2x2+1=x+1x−1.x2+1(x+1)2= \frac{{x + 1}}{{x - 1}}:\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}.\frac{{{x^2} + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}

=x2+1(x−1)(x+1)=x2+1x2−1= \frac{{{x^2} + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} - 1}}

Do đó ta chọn đáp án A.

Câu 8

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Đáp án đúng là: C

Ta có:

1−2x+11−x2−2x2−1=(1−2x+1):(1−x2−2x2−1)\frac{{1 - \frac{2}{{x + 1}}}}{{1 - \frac{{{x^2} - 2}}{{{x^2} - 1}}}} = \left( {1 - \frac{2}{{x + 1}}} \right):\left( {1 - \frac{{{x^2} - 2}}{{{x^2} - 1}}} \right)

=(x+1−2x+1):(x2−1−x2+2x2−1)= \left( {\frac{{x + 1 - 2}}{{x + 1}}} \right):\left( {\frac{{{x^2} - 1 - {x^2} + 2}}{{{x^2} - 1}}} \right)

=x−1x+1:1(x−1)(x+1)= \frac{{x - 1}}{{x + 1}}:\frac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}

=x−1x+1.(x−1)(x+1)= \frac{{x - 1}}{{x + 1}}.\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)

=(x−1)2= {\left( {x - 1} \right)^2}

Do đó ta chọn đáp án C.

Câu 9

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: D

Đáp án đúng là: D

Ta có:

(xx+1+1):(1−3x21−x2)=(x+x+1x+1):(1−x2−3x21−x2)\left( {\frac{x}{{x + 1}} + 1} \right):\left( {1 - \frac{{3{x^2}}}{{1 - {x^2}}}} \right) = \left( {\frac{{x + x + 1}}{{x + 1}}} \right):\left( {\frac{{1 - {x^2} - 3{x^2}}}{{1 - {x^2}}}} \right)

=2x+1x+1:1−4x21−x2=2x+1x+1.1−x21−4x2= \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}:\frac{{1 - 4{x^2}}}{{1 - {x^2}}} = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}.\frac{{1 - {x^2}}}{{1 - 4{x^2}}}

=2x+1x+1.(1−x)(1+x)(1−2x)(1+2x)= \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}.\frac{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}{{\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 + 2x} \right)}}

=1−x1−2x= \frac{{1 - x}}{{1 - 2x}}

Do đó ta chọn đáp án D.

Câu 10

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Đáp án đúng là: A

Ta có:

(x2−1)(1x−1−1x+1−1)\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{x + 1}} - 1} \right)

=(x−1)(x+1)(x+1(x−1)(x+1)−x−1(x−1)(x+1)−(x−1)(x+1)(x−1)(x+1))= \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {\frac{{x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right)

=(x−1)(x+1)(x+1−x+1−x2+1(x−1)(x+1))= \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {\frac{{x + 1 - x + 1 - {x^2} + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right)

=(x−1)(x+1).3−x2(x−1)(x+1)= \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right).\frac{{3 - {x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}

=3−x2= 3 - {x^2}

Do đó ta chọn đáp án A.