10 Bài tập Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta thấy MH là đường vuông góc, MA và MB là các đường xiên kẻ từ M đến d.

Do đó độ dài MH là ngắn nhất.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

⦁ Vì PI là đường vuông góc, PQ là đường xiên kẻ từ P đến IM nên PI < PQ (1)

⦁ Ta có $\widehat {PQM}$ là góc ngoài của tam giác IPQ nên $\widehat {PQM} = \widehat {QIP} + \widehat {QPI} > \widehat {QIP} = 90^\circ$

Suy ra $\widehat {PQM}$ là góc tù nên $\widehat {PQM}$ là góc lớn nhất trong tam giác MPQ.

Do đó PM là cạnh lớn nhất của tam giác MPQ nên PQ < PM (2)

Từ (1) và (2) suy ra PI < PQ < PM. Do đó phương án A sai, B đúng.

⦁ Vì MI là đường vuông góc, MP là đường xiên kẻ từ M đến IN nên MI < MP (3)

Ta có $\widehat {MPN}$ là góc ngoài của tam giác MIP nên $\widehat {MPN} = \widehat {PIM} + \widehat {PMI} > \widehat {PIM} = 90^\circ$

Suy ra $\widehat {MPN}$ là góc tù nên $\widehat {MPN}$ là góc lớn nhất trong tam giác MPI

Do đó MN là cạnh lớn nhất của tam giác MPI nên MP < NM (4)

Từ (3) và (4) suy ra MI < PM < NM. Do đó phương án C và D sai.

Vậy ta chọn đáp án B.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Vì AH là đường vuông góc, AC là đường xiên kẻ từ A đến BC nên AH < AC.

Vì BK là đường vuông góc, BC là đường xiên kẻ từ B đến AC nên BK < BC.

Suy ra AH + BK < AC + BC.

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta thấy AD là đường vuông góc, AB, AC, AD và AF là các đường xiên nên AD là đường ngắn nhất.

Suy ra thời gian chạy đoạn đường AD là ngắn nhất.

Do đó thời gian Hoa chạy đoạn đường AD nhỏ hơn 15 phút.

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác ABC có AH là đường cao nên AH ⊥ BC.

Suy ra AH là đường vuông góc kẻ từ A đến BC nên AH là đường ngắn nhất trong tam giác ABC.

Suy ra khi M trùng H thì AM nhỏ nhất.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

⦁ Ta có MP là đường vuông góc, MI và ME là các đường xiên kẻ từ M đến IQ nên MP < MI, MP < ME.

Do đó khẳng định (I) và (V) là sai.

⦁ Ta có IQ là đường vuông góc, IN là đường xiên kẻ từ I đến NQ nên IQ < IN.

Do đó khẳng định (IV) là đúng.

⦁ Ta có NQ là đường vuông góc, NE là đường xiên kẻ từ N đến EQ nên NQ < NE

Do đó khẳng định (III) là đúng.

⦁ Ta có: MN = ME + EN

Mà MP < ME, NQ < NE

Suy ra MP + NQ < ME + EN = MN.

Do đó khẳng định (II) là đúng.

Vậy có 3 khẳng định đúng, ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: C

⦁ Xét tam giác ABH và tam giác AHC có:

$$\widehat {AHB}\, = \widehat {AHC}\,\left( { = 90^\circ } \right);$$

AH là cạnh chung;

BH = CH (giả thiết)

Suy ra ΔABH = ΔACH (hai cạnh góc vuông).

Do đó AB = AC (hai cạnh tương ứng). Do đó khẳng định A là đúng.

⦁ Vì AH là đường vuông góc, AC và AK là các đường xiên kẻ từ A đến đường thẳng BM nên AH < AC, AH < AK. Do đó khẳng định D đúng, khẳng định C sai.

⦁ Xét ∆AKM có $\widehat {AKM} = \widehat {AHK} + \widehat {HAK} > \widehat {AHK} = 90^\circ$ nên $\widehat {AKM}$ là góc tù.

Do đó cạnh AM là lớn nhất nên AK < AM. Do đó khẳng định B đúng.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: B

⦁ Xét tam giác AKM và tam giác AHE có

$\widehat {AKM} = \widehat {AHE}\left( { = 90^\circ } \right);$

AM = AE (do A là trung điểm của ME);

$\widehat {K{\rm{A}}M} = \widehat {HA{\rm{E}}}$ (đối đỉnh)

Suy ra ΔAKM = ΔAHE (cạnh huyền – góc nhọn).

Do đó AH = AK (hai cạnh tương ứng).

⦁ Vì NE, NA lần lượt là đường vuông góc, đường xiên kẻ từ N đến ME nên NE < NA.

Mà NA = NH + HA suy ra NE < NH + HA (1)

Mặt khác, NA = NK – AK

Suy ra NE < NK – AK (2)

Cộng hai vế của (1) và (2) ta được: 2NE < NH + HA + NK – AK.

Suy ra 2NE < NH + NK + AK – AK

Hay 2NE < NH + NK

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có DH, DB lần lượt là đường vuông góc, đường xiên kẻ từ điểm D đến đường thẳng AB nên DH < DB (1).

Tương tự, ta có DK, DC lần lượt là đường vuông góc, đường xiên kẻ từ điểm D đến đường thẳng AC nên DK < DC (2).

Từ (1), (2), ta suy ra DH + DK < DB + DC = BC.

Khi đó ta có DH + DK < BC.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: D

⦁ Ta có AB = AC (do ∆ABC cân tại A) và BM = CN (giả thiết).

Suy ra AB + BM = AC + CN nên AM = AN.

Do đó ∆AMN cân tại A nên $\widehat {AMN} = \widehat {ANM}.$

Xét ∆AMN có $\widehat {MAN} + \widehat {AMN} + \widehat {ANM} = 180^\circ$ (tổng ba góc của một tam giác).

Suy ra $2\widehat {AMN} = 180^\circ - \widehat {MAN}$.

Do đó $\widehat {AMN} = \frac{{180^\circ - \widehat {MAN}}}{2}$ (1).

⦁ Ta có ∆ABC cân tại A nên $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$.

Xét ∆ABC có $\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ$ (tổng ba góc của một tam giác).

Suy ra $2\widehat {ABC} = 180^\circ - \widehat {BAC}$

Do đó $\widehat {ABC} = \frac{{180^\circ - \widehat {MAN}}}{2}$ (2).

Từ (1), (2), ta suy ra $\widehat {AMN} = \widehat {ABC}$.

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên BC // MN (dấu hiệu nhận biết).

Kẻ AH ⊥ BC tại H. Suy ra AH ⊥ MN. Giả sử AH ⊥ MN tại K.

Xét ∆ABH và ∆ACH, có:

$\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ ;$

$\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$ (do ∆ABC cân tại A);

AB = AC (do ∆ABC cân tại A).

Do đó ∆ABH = ∆ACH (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra HB = HC (hai cạnh tương ứng).

Khi đó H là trung điểm BC nên $BH = \frac{1}{2}BC$.

Tương tự ta có $KN = \frac{1}{2}MN$.

Gọi O là giao điểm của BN và AK.

Theo quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, ta có:

BO > $BH = \frac{1}{2}BC$ và ON > $KN = \frac{1}{2}MN$.

Suy ra BN = BO + ON > $\frac{1}{2}BC + \frac{1}{2}MN = \frac{{0{,}6}}{2} + \frac{{0{,}9}}{2} = 0{,}75$

Do đó BN > 0,75 (m).

Vì 0,8 (m) > 0,75 (m).

Vậy ta chọn phương án D.