10 Bài tập Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đường tròn có tâm O(0; 0) bán kính R = 1.

Điều kiện để đường thẳng tiếp xúc với đường tròn là khoảng cách từ tâm tới đường thẳng bằng bán kính.

Xét phương án A: đường thẳng ∆: 3x – 4y + 5 = 0.

$d(O,Δ)=\frac{|3\cdot 0-4\cdot 0+5|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}=\frac{5}{5}=1=R.$

Do đó đường thẳng 3x – 4y + 5 = 0 tiếp xúc với đường tròn.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Đường tròn (C) tiếp xúc với trục Ox khi d(I, Ox) = R với I và R lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C).

Xét phương trình đường tròn: x$^{2}$ + y$^{2}$ + 6x + 5y + 9 = 0 có $I(-3;-\frac{5}{2})$ và $R=\frac{5}{2}$.

d(I, Ox) = $\frac{5}{2}=R$. Vậy (C) tiếp xúc với trục Ox.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đường tròn (C): x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2x – 4y + 3 = 0 có tâm I(1; 2) và bán kính $R=\sqrt{2}$.

Do d song song với đường thẳng Δ nên d có phương trình là 3x + 4y + k = 0 (k ≠ 1).

Để đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (C) thì d(I, d) = R

$\Leftrightarrow \frac{|3\cdot 1+4\cdot 2+k|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}=\sqrt{2}\Leftrightarrow |11+k|=5\sqrt{2}\Leftrightarrow [\begin{matrix}11+k=5\sqrt{2} \\ 11+k=-5\sqrt{2}\end{matrix}\Leftrightarrow [\begin{matrix}k=5\sqrt{2}-11 \\ k=-5\sqrt{2}-11\end{matrix}$

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là $3x+4y+5\sqrt{2}-11=0$ và $3x+4y-5\sqrt{2}-11=0$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đường tròn (C): (x – 2)$^{2}$ + (y + 4)$^{2}$ = 25 có tâm I(2; –4), bán kính R = 5.

Đường thẳng vuông góc với đường thẳng d: 3x – 4y + 5 = 0 có phương trình dạng: 4x + 3y + c = 0.

Đường thẳng Δ là tiếp tuyến của đường tròn (C) khi và chỉ khi d(I, Δ) = R tức là

$\frac{|4.2+3.(-4)+c|}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}=5\Leftrightarrow |c-4|=25\Leftrightarrow [\begin{matrix}c-4=25 \\ c-4=-25\end{matrix}\Leftrightarrow [\begin{matrix}c=29 \\ c=-21\end{matrix}$.

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: 4x + 3y + 29 = 0 và 4x + 3y – 21 = 0.

Hướng dẫn giải :

Đáp án đúng là : D

Đường tròn (C): (x – 3)$^{2}$ + (y – 4)$^{2}$ = 36 tâm I(3; 4) và bán kính R = 6.

Với P(–3; –2) và I(3; 4) ta có $\overrightarrow{PI}=(6;6)$ nên ta có $PI=\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}=6\sqrt{2}.$

Xét ∆PIM vuông tại M, theo định lí Pythagore ta có :

$PM=\sqrt{P{I}^{2}-M{I}^{2}}=\sqrt{{(6\sqrt{2})}^{2}-{6}^{2}}=6.$

Do đó ∆PIM vuông cân tại M, suy ra tứ giác IMPN là hình vuông nên đường thẳng MN nhận $\overrightarrow{n}=\frac{1}{6}\overrightarrow{PI}=(1;1)$ làm vectơ pháp tuyến đồng thời đường thẳng MN đi qua trung điểm K(0; 1) của IP.

Vậy phương trình đường thẳng MN là : 1(x – 0) + 1. ( y – 1) = 0 hay x + y – 1 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Đường tròn (C) có tâm I(2; – 4) và bán kính $R=\sqrt{2}$

Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường tròn ta thấy điểm A thuộc đường tròn (C). Do đó tiếp tuyến của đường tròn (C) đi qua A chính là tiếp tuyến tại A của đường tròn (C).

Với A(1; –3) và I(2; – 4) ta có $\overrightarrow{AI}=(1;-1).$ Khi đó tiếp tuyến tại A nhận $\overrightarrow{AI}=(1;-1).$ làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A(1; –3) là:

1(x – 1) – 1(y + 3) = 0 hay x – y – 4 = 0.