10 Bài tập Nhận biết đường phân giác và đường phân giác đối với tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều) (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Điểm E nằm trên tia phân giác góc A của tam giác ABC thì E cách đều hai cạnh AB, AC.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Hai đường phân giác CD và BE cắt nhau tại I mà nên I là giao điểm của ba đường phân giác của ∆ABC, do đó AI là phân giác của góc A.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác.

Đáp án đúng là: B

⦁ I là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác nên I cách đều ba cạnh của ΔABC. Do đó khẳng định A là sai.

⦁ G là trọng tâm nên G là giao điểm của ba đường trung tuyến, không phải giao điểm ba đường phân giác của tam giác, hay G khác I, do đó khẳng định C là sai.

⦁ Ta có: ΔABC cân tại A, I là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác nên AI vừa là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác của $\widehat {BAC}.$ Mà G là trọng tâm của ΔABC nên AG là trung tuyến của ΔABC.

Do đó AI và AG là hai đường thẳng trùng nhau hay A, G, I thẳng hàng.

Vậy khẳng định B là đúng, ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

⦁ Vì I là giao của ba đường phân giác của ΔABC nên BI là đường phân giác của ΔABC.

⦁ Vì G là trọng tâm ΔABC nên BG là đường trung tuyến của ΔABC mà B; I; G thẳng hàng nên ta có BI là đường trung tuyến của ΔABC.

Xét ΔABC có: BI là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác của ΔABC.

Suy ra ΔABC cân tại B.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Xét ΔABC có các tia phân giác của $\widehat B$ và $\widehat C$ cắt nhau tại I nên I là giao điểm của ba đường phân giác trong ΔABC.

Suy ra AI là đường phân giác của $\widehat A$ và I cách đều ba cạnh của ΔABC, do đó ID = IE.

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Xét ∆ABD và ∆ACD có:

AD là cạnh chung;

$\widehat {BAD} = \widehat {CAD}$ (do AD là tia phân giác của góc BAC);

AB = AC (do ∆ABC cân tại A).

Do đó ∆ABD = ∆ACD (c.g.c).

Suy ra BD = CD = 5 (cm) (hai cạnh tương ứng).

Đáp án đúng là: A

Xét ΔABC có: $\widehat A + \widehat {ACB} + \widehat {ABC} = 180^\circ$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat {ACB} + \widehat {ABC} = 180^\circ - \widehat A = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$ (1)

Vì CD là tia phân giác của $\widehat {ACB}$ (giả thiết) nên $\widehat {DCB} = \frac{{\widehat {ACB}}}{2}$ (2)

Vì BE là tia phân giác của $\widehat {ABC}$ (giả thiết) nên $\widehat {CBE} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: $\widehat {DCB} + \widehat {CBE} = \frac{{\widehat {ACB}}}{2} + \frac{{\widehat {ABC}}}{2} = \frac{{\widehat {ACB} + \widehat {ABC}}}{2} = \frac{{110^\circ }}{2} = 55^\circ$

Hay $\widehat {ICB} + \widehat {IBC} = 55^\circ$

Xét ΔBIC có: $\widehat {ICB} + \widehat {IBC} + \widehat {BIC} = 180^\circ$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat {BIC} = 180^\circ - \left( {\widehat {ICB} + \widehat {IBC}} \right) = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ .$

Đáp án đúng là: C

Vì O là giao điểm của hai đường phân giác của các góc $\widehat {ABC}$ và $\widehat {BAC}$ (giả thiết) nên CO là tia phân giác của $\widehat {ACB}$

Suy ra $\widehat {ACO} = \widehat {BCO}$ (1)

BO là tia phân giác của $\widehat {ABC}$ (giả thiết) nên $\widehat {OBA} = \widehat {OBC}$. (2)

Vì MN // BC nên (3) và $\widehat {MOB} = \widehat {OBC}$ (4) (các cặp góc so le trong).

Từ (1) và (3) ta có $\widehat {NOC} = \widehat {NCO}$ suy ra ΔNOC cân tại N. Do đó: NO = NC = 3 cm.

Từ (2) và (4) ta có $\widehat {MOB} = \widehat {MBO}$ suy ra ΔMOB cân tại M. Do đó: MO = MB = 4 cm.

Khi đó: MN = MO + ON = 4 + 3 = 7 cm.

Đáp án đúng là: B

Xét ∆ABC đều có BI, CI là hai đường phân giác của tam giác nên AI cũng là đường phân giác của góc $\widehat {BAC}$

Do đó AI cũng đồng thời là đường trung tuyến của ∆ABC.

Chứng minh tương tự, ta sẽ có BI, CI đều là đường trung tuyến của ∆ABC.

Suy ra I là trọng tâm của ∆ABC

Khi đó A, I, M thẳng hàng và $AI = \frac{2}{3}AM$

Suy ra $IM = \frac{1}{2}AI = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1{,}5{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).$