10 Bài tập Nhận biết, chứng minh dãy số là một cấp số cộng (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Có v$_{1}$ = 0, v$_{2}$ = 2, v$_{3}$ = 4, v$_{4}$ = 6, v$_{5}$= 8.

Dễ thấy các số hạng của dãy số (v$_{n}$) là các số chẵn có hiệu giữa hai phần tử liên tiếp là 2 đơn vị.

Do đó (v$_{n}$) là một cấp số cộng.

Đáp án đúng là: D

• Xét dãy (1) là dãy số có hiệu 2 phần tử liên tiếp là:

5 – 0 = 10 – 5 = … = 5 $\Rightarrow$ Dãy (1) là cấp số cộng.

• Xét dãy (2) là dãy số có hiệu 2 phần tử liên tiếp là:

4 – 1 = 3; 9 – 4 = 5; … khác nhau $\Rightarrow$ Dãy (2) không phải cấp số cộng.

• Xét dãy (3) là dãy số có hiệu 2 phần tử liên tiếp là:

5 – 3 = 7 – 5 = … = 2 $\Rightarrow$ Dãy (3) là cấp số cộng.

• Xét dãy (4) là dãy số có hiệu 2 phần tử liên tiếp là:

– 1 – 5 = –7 – (– 1) = … = – 6 $\Rightarrow$ Dãy (4) là cấp số cộng.

Vậy các dãy số thỏa mãn là cấp số cộng là: 1; 3; 4.

Đáp án đúng là: D

Có w$_{1}$ = 2, w$_{2}$ = –6, w$_{3}$ = 18, w$_{4}$ = –54.

$\Rightarrow$ Ta kết luận w$_{n}$ không phải một cấp số cộng.

Vậy D là đáp án đúng.

Đáp án đúng là: A

Ta có: u$_{n}$ $_{+}$ $_{1}$ = −13(n + 1) + 27 = −13n + 14

$\Rightarrow$ u$_{n}$ $_{+}$ $_{1}$ − u$_{n}$ = (−13n + 14) − (−13n + 27) = −13

Suy ra: (u$_{n}$) là cấp số cộng với công sai d = −13.

Đáp án đúng là: D

• Xét phương án A: u$_{n}$ = −3 − 8n.

Ta có u$_{n}$ $_{+}$ $_{1}$ = −3 − 8(n + 1) = −11 − 8n

$\Rightarrow$ u$_{n}$ $_{+}$ $_{1}$ − u$_{n}$ = (−11 − 8n) − (−3 − 8n) = −8

$\Rightarrow$ (u$_{n}$): u$_{n}$ = −3 − 8n là một cấp số cộng với công sai d = −8.

• Xét phương án B: u$_{n}$ = n + 2.

Ta có u$_{n}$ $_{+}$ $_{1}$ = n + 1+ 2 = n + 3;

$\Rightarrow$ u$_{n}$ $_{+}$ $_{1}$ − u$_{n}$ = (n + 3) − (n + 2) = 1

$\Rightarrow$ (u$_{n}$): u$_{n}$ = n + 2 là một cấp số cộng với công sai d = 1.

• Xét phương án C: u$_{n}$ = 3n.

Ta có u$_{n}$ $_{+}$ $_{1}$ = 3(n + 1) = 3n + 3;

$\Rightarrow$ u$_{n}$ $_{+}$ $_{1}$ − u$_{n}$ = 3n + 3 – 3n = 3

$\Rightarrow$ C (u$_{n}$) là một cấp số cộng với công sai d = 3.

• Xét phương án D: u$_{n}$ = n + 2:

Ta có u$_{n}$ $_{+}$ $_{1}$ = 3.(−4)$^{n}$ $^{+}$ $^{1}$ − 8;

$\Rightarrow$ u$_{n}$ $_{+}$ $_{1}$ − u$_{n}$ = [3.(−4)$^{n}$ $^{+}$ $^{1}$ − 8] − [ 3.(−4)$^{n}$ − 8] = 3.(−4)$^{n}$ $^{+}$ $^{1}$ − 3.(−4)$^{n}$.

$\Rightarrow$ (u$_{n + 1}$ − u$_{n}$) không phải là hằng số; còn phụ thuộc vào n.

Nên dãy số (u$_{n}$) không là cấp số cộng.

$\Rightarrow$ D đúng.

Đáp án đúng là: D

Ta có: u$_{2}$ = 2; u$_{3}$ = 2; u$_{4}$ = 2; u$_{5}$ = 2...

Dự đoán: u$_{n}$ = 2 ∀n ∈ ℕ$^{*}$.

Ta chứng minh u$_{n}$ = 2 bằng phương pháp quy nạp:

+ Với n = 1 ta có: u$_{1}$ = 2 nên đúng với n = 1.

+ Giả sử đúng với n = k, tức là: u$_{k}$ = 2.

Ta chứng minh dãy số đúng với n = k + 1 hay u$_{k}$ $_{+}$ $_{1}$ = 2.

Theo giả thiết ta có: ${u_{k + 1}} = \sqrt {2 + {u_k}} = \sqrt {2 + {\rm{2}}} = 2$

$\Rightarrow$ Đúng với n = k + 1, suy ra điều phải chứng minh.

Vậy với mọi n ta có: u$_{n}$ = u$_{n + 1}$ nên u$_{n + 1}$ − u$_{n}$ = 0.

$\Rightarrow$ Dãy số (u$_{n}$) là cấp số cộng với công sai d = 0.

Đáp án đúng là: C

Ta có: u$_{n + 1}$ – u$_{n}$ = (n + 1) + 10 – n – 10 = 1

$\Rightarrow$ u$_{n}$ là cấp số cộng có công sai bằng 1.

Đáp án đúng là: A

• Ta có: v$_{n+1}$ = −2(n + 1)$^{2}$ + (n + 1) + 1= −2n$^{2}$ − 3n

Xét hiệu: v$_{n + 1}$ − v$_{n}$ = (−2n$^{2}$ − 3n) − (−2n$^{2}$ + n + 1) = −4n – 1.

Do đó, hiệu (v$_{n + 1}$ − v$_{n}$) còn phụ thuộc vào n nên (v$_{n}$) không là cấp số cộng.

• Ta có: u$_{n + 1}$ = – 2(n + 1)$^{2}$ + (n + 1) + 1

Xét hiệu: u$_{n + 1}$ − u$_{n}$ = −2(n + 1)$^{2}$ + 2n$^{2}$ + 1 = – 4n – 1 phụ thuộc vào n.

$\Rightarrow$ (u$_{n}$) không là cấp số cộng.

+ Ta có: ${w_1} = - 1\,;\,\,{w_2} = 1\,;\,\,{w_3} = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow$ w$_{3}$ − w$_{2}$ ≠ w$_{2}$ − w$_{1}$ nên dãy số (w$_{n}$) không phải là cấp số cộng.

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${u}_{1}=-6;{u}_{2}=\frac{-9}{2};{u}_{3}=-6$

Ta thấy: u$_{1}$ + u$_{3}$ ≠ 2u$_{2}$.

Do đó, dãy số (u$_{n}$) đã cho không là cấp số cộng.

Đáp án đúng là: A

Ta có: u$_{2}$ = 2; u$_{3}$ = 2; u$_{4}$ = 2; u$_{5}$ = 2...

Dự đoán: u$_{n}$ = 2 ∀n ∈ ℕ$^{*}$ .

Ta chứng minh u$_{n}$ = 2 bằng phương pháp quy nạp.

+ Với n = 1 ta có: u$_{1}$ = 2 nên đúng với n = 1.

+ Giả sử đúng với n = k, tức là: u$_{k}$ = 2.

Ta chứng minh đúng với n = k + 1 hay u$_{k+1}$ = 2.

Theo giả thiết ta có: ${u_{k + 1}} = \sqrt {3{u_k} - 2} = \sqrt {3\,\,.\,\,2 - 2} = 2$

$\Rightarrow$ Đúng với n = k + 1, ta có điều phải chứng minh.

Vậy với mọi n ta có: u$_{n}$ = u$_{n + 1}$ nên u$_{n + 1}$ − u$_{n}$ = 0.

$\Rightarrow$ Dãy số (u$_{n}$) là cấp số cộng với công sai d = 0.