10 bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến hình nón có lời giải

Đáp án đúng là: A

Bán kính đáy

của chiếc nón là: r = 44 : 2 = 22 (cm).

Tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Pythagore,

ta có: BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + CA$^{2}$ = 20$^{2}$ + 22$^{2}$

suy ra BC = $\sqrt {{{20}^2} + {{22}^2}} = 2\sqrt {221}$ (cm).

Độ dài đường sinh của hình nón là $BC = 2\sqrt {221}$ cm.

Diện tích xung quanh của hình nón là:

S$_{xq}$ = πrl = π.22. $2\sqrt {221}$ = $44\pi \sqrt {221}$ (cm$^{2}$) .

Đáp án đúng là: B

Bán kính của mỗi đống muối này là: 1,6 : 2 = 0,8 (m).

Thể tích mỗi đống muối là: $V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi .{\left( {0{,}8} \right)^2}.0{,}9 = \frac{{24\pi }}{{125}}$ (m$^{3}$).

Đáp án đúng là: B

Gọi h là chiều cao, r là bán kính đáy, l là đường sinh chiếc mũ.

Bán kính đáy chiếc mũ là: r = (26 – 3.2) : 2 = 10 (cm).

Mặt ngoài là diện tích xung quanh của chiếc mũ (không kể phần vành).

Do đó, S$_{xq}$ = πrl = π.10.30 ≈ 942, 5 (cm$^{2}$).

Đáp án đúng là: D

Chiều cao ở phần có dạng hình nón ở chiếc mũ chú hề là:

h = $\sqrt {{{30}^2} - {{10}^2}} = 20\sqrt 2$ (cm).

Thể tích phần có dạng hình nón của chiếc mũ chú hề là:

V = $\frac{1}{3}.\pi {r^2}h = \frac{1}{3}.\pi {.10^2}.20\sqrt 2 \approx 2961{,}9$ (cm$^{3}$).

Đáp án đúng là: B

Vì chiếc nón hình nón có bán kính đáy R = 28 : 2 = 14 (cm).

Diện tích xung quanh của hình nón là:

S$_{xq}$ = πrl = 3,14.14.30 = 1318,8 (cm$^{2}$).

Vậy diện tích lá dùng để làm nón là:

110%.1318,8 = 1450,68 (cm$^{2}$).

Đáp án đúng là: B

Bán kính đáy là: 40 : 2 = 20 (cm).

Diện tích xung quanh của chiếc nón là:

S$_{xq}$ = πrl = π.20.30 = 600π (cm$^{2}$).

Vì người ta cần dùng hai lớp lá để phủ mặt xung quanh nón nên diện tích lá cần dùng cho một chiếc nón là: 2.600π = 1200π (cm$^{2}$).

Vậy diện tích lá cần dùng để làm 500 chiếc nón là:

1200π.500 = 600 000π (cm$^{2}$).

Đáp án đúng là: A

Theo giả thiết mỗi chiếc nón lá là một hình nón có bán kính đáy là: R = 50 : 2 = 25 (cm) = 0,25 (m).

Đường cao của hình nón h = 30 cm = 0,3 m.

Gọi l là chiều cao của hình nón

Do đó, l = $\sqrt {{r^2} + {h^2}} = \sqrt {0,{{25}^2} + 0,{3^2}} = \frac{{\sqrt {61} }}{{20}}$ (m).

Diện tích xung quanh của một chiếc nón lá là

S$_{xq}$ = πrl = π.0,25. $\frac{{\sqrt {61} }}{{20}}$ = $\frac{{\pi \sqrt {61} }}{{80}}$ (m$^{2}$).

Tổng diện tích xung quanh của 1000 chiếc nón là:

S = 1000. $\frac{{\pi \sqrt {61} }}{{80}}$ = $\frac{{25\pi \sqrt {61} }}{2}$ (m$^{2}$).

Do đó, khối lượng lá cần dùng là: $\frac{S}{{6{,}13}} = \frac{{25\pi \sqrt {61} }}{2}:6{,}13 \approx 50$(kg).

Đáp án đúng là: B

Gọi R là bán kính đáy của cái phễu ta có $\frac{R}{2}$ là bán kính của đáy chứa cột nước.

Thể tích phần nón chứa nước là: $\frac{1}{3}\pi .{\left( {\frac{R}{2}} \right)^2}.10 = \frac{{5\pi {R^2}}}{6}$.

Thể tích cái phễu hình nón đó là: $\frac{1}{3}\pi .{R^2}.20 = \frac{{20\pi {R^2}}}{3}$.

Do đó, thể tích phần phễu không chứa nước là:

V = $\frac{{20\pi {R^2}}}{3} - \frac{{5\pi {R^2}}}{6} = \frac{{35\pi {R^2}}}{6}$.

Khi lật ngược phễu. Gọi h là chiều cao của cột nước trong phễu.

Chiều cao của phần phễu không chứa nước là: 20 – h (cm).

Áp dụng định lí Thalès, ta tính được bán kính R$_{1}$ của phần nón không chứa nước.

$\frac{{20 - h}}{{20}} = \frac{{{R_1}}}{R}$ nên R$_{1}$ = $\frac{{R.\left( {20 - h} \right)}}{{20}}$.

Phần thể tích nón không chứa nước là:

V = $\frac{1}{3}\pi .\left( {20 - h} \right).{\left[ {\frac{{R.\left( {20 - h} \right)}}{{20}}} \right]^2} = \frac{1}{{1200}}\pi {\left( {20 - h} \right)^3}.{R^2}$.

Ta có: $\frac{{35\pi {R^2}}}{6} = \frac{1}{{1200}}\pi {\left( {20 - h} \right)^3}.{R^2}$ hay (20 – h)$^{3}$ = 7000.

Do đó, h = 20 – $\sqrt[3]{{7000}}$ ≈ 0,87 (cm).

Đáp án đúng là: B

Gọi a là bán kính đáy hình tròn.

V$_{1}$, V$_{2}$ lần lượt là thể tích của hình nón trên lúc chứa đầy nước và chiều cao của nước bằng 1 dm.

h, V$_{3}$ lần lượt là chiều cao của nước, thể tích của hình nón dưới khi chiều cao của nước trong hình nón trên bằng 1 dm.

R, r lần lượt là bán kính của hình nón trên của nước, bán kính của hình nón dưới của nước khi chiều cao của nước trong hình nón trên bằng 1 dm.

Ta có: $\frac{R}{a} = \frac{1}{2}$ nên $R = \frac{a}{2}$.

Thể tích nước của hình nón khi chiều cao bằng 1 là:

V$_{2}$ = $\frac{1}{3}.h.\pi .{\left( {\frac{h}{2}a} \right)^2} = \frac{{\pi {a^2}{h^3}}}{{12}}$.

Mặt khác, $\frac{r}{a} = \frac{h}{2}$ nên r = $\frac{{ah}}{2}$.

Do đó, thể tích nước hình nón dưới là V$_{3}$ = $\frac{1}{3}.2.\pi {a^2}$.

Ta có: V$_{3}$ = V$_{1}$ – V$_{2}$ hay $\frac{{\pi {a^2}{h^3}}}{{12}} = \frac{{2\pi {a^2}}}{3} - \frac{{\pi {a^2}}}{{12}}$ suy ra h$^{3}$ + 1 = 8 nên h = $\sqrt[3]{7}$.

Đáp án đúng là: D

Thể tích đống cát của bác Bình là: $\frac{1}{3}.\pi .2.{\left( {6:2} \right)^2} = 6\pi \approx 18{,}84$ (m$^{3}$).

Số mét khối cát bác Bình cần bổ sung là: 30 – 18,84 = 11,16 (m$^{3}$).