10 bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến Đường tiệm cận của đồ thị hàm số (có lời giải)

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty }$ [$55 - \frac{1}{2}\sqrt {{x^2} + 144}$−($55 - \frac{1}{2}x$)] = 0

Tương tự ta cũng có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty }$ [$55 - \frac{1}{2}\sqrt {{x^2} + 144}$−($55 - \frac{1}{2}x$)] = 0

Do đó y = $55 - \frac{1}{2}x$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = $55 - \frac{1}{2}\sqrt {{x^2} + 144}$.

Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} C(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{50x + 2000}}{x} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} C(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{50x + 2000}}{x} = - \infty$

Vậy $x = 0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } C(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{50 + \frac{{2000}}{x}}}{1} = 50;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } C(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{50 + \frac{{2000}}{x}}}{1} = 50$.

Vậy ${\rm{y}} = 50$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\text{Có}\underset{t\rightarrow +\infty }{\lim }y(t)=\underset{t\rightarrow +\infty }{\lim }(5-\frac{15t}{9{t}^{2}+1})=\underset{t\rightarrow +\infty }{\lim }(5-\frac{\frac{15}{t}}{9+\frac{1}{{t}^{2}}})=5\text{;}\underset{t\rightarrow -\infty }{\lim }y(t)=\underset{t\rightarrow -\infty }{\lim }(5-\frac{15t}{9{t}^{2}+1})=\underset{t\rightarrow -\infty }{\lim }(5-\frac{\frac{15}{t}}{9+\frac{1}{{t}^{2}}})=5$

Do đó $y=5$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số và hàm số không có tiệm cận đứng, tiệm cận xiên.

Tập xác định: ${\rm{D}} = (0;{\rm{c}}]$.

Có $\mathop {\lim }\limits_{v \to {c^ + }} m(v) = \mathop {\lim }\limits_{v \to {c^ + }} \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{v \to c} m(v) = \mathop {\lim }\limits_{v \to c} \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }} = + \infty$

Do đó $v = c$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Hàm số không có tiệm cận ngang.

Khi hạt di chuyến với tốc độ càng gần tốc độ ánh sáng thì khối lượng của hạt tiến gần tới vô cùng.

Trên hình điều này được thế hiện đường cong biếu diễn $m(v)$ sẽ tiến dần đến vô cùng khi $v \to c$. Điều này cho thấy rẳng khối lượng của hạt sẽ tăng tới vô cùng khi tốc độ di chuyến của nó tiến gân tốc độ ánh sáng.

a) Sau 1 phút, ta có: khối lượng muối trong bể là 25 . 30 . t = 750t (gam); thể tích của lượng nước trong bể là 5 000 + 25t (lít). Vậy nồng độ muối sau 1 phút là $f(t) = \frac{{750t}}{{5000 + 25t}} = \frac{{30t}}{{200 + t}}$ (gam/lít).

b) Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } f(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{30t}}{{200 + t}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \left( {30 - \frac{{6000}}{{200 + t}}} \right) = 30$

Vậy đường thẳng y = 30 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số f(t).

c) Ta có đồ thị hàm số y = f(t) nhận đường thẳng y = 30 làm tiệm cận ngang, tức là khi t càng lớn thì nồng độ muối trong bể sẽ tiến gần đến mức 30 (gam/lít). Lúc đó, nồng độ muối trong bể sẽ gần như bằng nồng độ muối trong nước muối được bơm vào bể.

a) Xét hàm số $y = S(x) = 200\left( {5 - \frac{9}{{2 + x}}} \right)$ với $x \in [1; + \infty )$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 200\left( {5 - \frac{9}{{2 + x}}} \right) = 1000;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } = 200\left( {5 - \frac{9}{{2 + x}}} \right) = 1000$.

Do đó, đường thẳng $y = 1000$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho trên nửa khoảng $[1; + \infty )$.

b) Ta có đồ thị hàm số $y = S(x)$ với $x \in [1; + \infty )$ nhận đường thẳng $y = 1000$ làm tiệm cận ngang, tức là khi $x$ càng lớn thì số lượng sản phấm bán được của công ty đó trong ${\rm{x}}$ (tháng) sẽ tiến gần đến 1000 sản phấm.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } m(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } 15{e^{ - 0{,}012t}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{15}}{{{e^{0{,}012t}}}} = 0$

Do đó, $m(t) \to 0$ khi $t \to + \infty$.

Trong hình vẽ , khi $t \to + \infty$ thì ${\rm{m}}({\rm{t}})$ càng gần trục hoành ${\rm{Ot}}$ (nhưng không chạm trục ${\rm{Ot}}$ ).

Ta có: $f(x) = \frac{{C(x)}}{x} = \frac{{2x + 50}}{x}$

Vì ${f^\prime }(x) = \frac{{ - 50}}{{{x^2}}} < 0$ với mọi số thực ${\rm{x}}$ nên hàm số $f(x) = \frac{{C(x)}}{x}$ giảm.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x + 50}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 + \frac{{50}}{x}}}{1} = 2{\rm{ (dpcm) }}$

Tính chất này nói lên: Khi sản xuất càng nhiều sản phầm thì chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm càng giảm, nhưng không dưới 2 .

a) Độ dài cạnh còn lại của mảnh vườn là: $\frac{{144}}{x}(\;{\rm{m}})$

Chu vi của mảnh vườn là: $P(x) = 2\left( {x + \frac{{144}}{x}} \right) = 2x + \frac{{288}}{x}(m)$

b) Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } P(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2x + \frac{{288}}{x}} \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } P(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2x + \frac{{288}}{x}} \right) = - \infty$

Do đó, đồ thị hàm số ${\rm{P}}({\rm{x}})$ không có tiệm cận ngang.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {2x + \frac{{288}}{x}} \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {2x + \frac{{288}}{x}} \right) = + \infty$

Do đó, đồ thị hàm số ${\rm{P}}({\rm{x}})$ có tiệm cận đứng là $x = 0$.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [P(x) - 2x] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2x + \frac{{288}}{x} - 2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{288}}{x} = 0$

Do đó, đồ thị hàm số ${\rm{P}}({\rm{x}})$ có tiệm cận xiên là: $y = 2x$.