10 Bài tập Lập phương trình chính tắc của parabol (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Parabol (P) có phương trình đường chuẩn $x+\frac{1}{2}=0$ hay $x=-\frac{1}{2}.$

Do đó $\frac{p}{2}=\frac{1}{2}$ nên p = 1.

Vậy phương trình chính tắc của parabol (P) là y$^{2}$ = 2x.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Do tọa độ tiêu điểm của (P) là F(5; 0) nên ta có $\frac{p}{2}=5,$ suy ra p = 10 nên 2p = 20.

Vậy phương trình chính tắc của parabol (P) là : y$^{2}$ = 20x.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi tọa độ tiêu điểm của (P) là $F(\frac{p}{2};0).$

Khoảng cách từ F đến Δ là $2\sqrt{2}$ nên ta có: $d(F,Δ)=\frac{|\frac{p}{2}-12|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}=2\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow |\frac{p}{2}-12|=4\Leftrightarrow [\begin{matrix}p=16 \\ p=32\end{matrix}$.

Vậy phương trình chính tắc của (P) là: y$^{2}$ = 32x hoặc y$^{2}$ = 64x.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Khoảng cách từ đỉnh O đến tiêu điểm $F(\frac{p}{2};0)$ là $\frac{p}{2}$

Theo bài, ta có $\frac{p}{2}=\frac{3}{4},$ suy ra $p=\frac{3}{2}$ nên 2p = 3.

Vậy phương trình chính tắc của (P) là y$^{2}$ = 3x.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng Δ: 3x – y = 0 hay y = 3x.

Phương trình hoành độ của (P) và Δ là: (3x)$^{2}$ = 2px ⇔ x(9x – 2p) = 0

⇔ x = 0 hoặc $x=\frac{2p}{9}.$

Tọa độ hai giao điểm của (P) và Δ là $A(0;0),\ B(\frac{2p}{9};\frac{2p}{3}).$

Khi đó ta có $AB=\sqrt{{(\frac{2p}{9})}^{2}+{(\frac{2p}{3})}^{2}}=\frac{2p\sqrt{10}}{9}.$

Mà theo bài, $AB=2\sqrt{10}.$ Do đó $\frac{2p\sqrt{10}}{9}=2\sqrt{10}\Leftrightarrow p=9.$

Vậy phương trình chính tắc của (P) là y$^{2}$ = 18x.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Gọi phương trình chính tắc của parabol (P) là: y$^{2}$ = 2px (p > 0).

Vì một dây cung của (P) vuông góc với trục Ox có độ dài bằng 8 và khoảng cách từ đỉnh O của (P) đến dây cung này bằng 1 nên điểm A(1; 4) thuộc vào (P) suy ra 16 = 2.p.1 nên p = 8.

Vậy (P): y$^{2}$ = 16x.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi phương trình chính tắc của parabol (P) là: y$^{2}$ = 2px (p > 0).

Ta có (E): 4x$^{2}$ + 6y$^{2}$ = 24 $\Leftrightarrow \frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{4}=1.$

Do (E) và (P) có đồ thị đối xứng qua trục Ox và AB = 2 suy ra A(t; 1), B(t; –1) là hai giao điểm nằm bên phải Oy nên t > 0.

Vì A(t; 1) ∈ (E) nên ta có 4t$^{2}$ + 6.1$^{2}$ = 24 $\Leftrightarrow {t}^{2}=\frac{9}{2}\Leftrightarrow t=\frac{3}{\sqrt{2}}.$

Do đó $A(\frac{3}{\sqrt{2}};1)\in (P)$ nên ta có ${1}^{2}=2p\cdot \frac{3}{\sqrt{2}},$ do đó $p=\frac{\sqrt{2}}{6}.$

Vậy $(P):{y}^{2}=\frac{\sqrt{2}}{3}x.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Phương trình tung độ giao điểm của d và (P) là: ${y}^{2}=\frac{16y}{k}\Rightarrow [\begin{matrix}y=0 \\ y=\frac{16}{k}\end{matrix}$.

Suy ra tọa độ điểm $A(\frac{16}{{k}^{2}};\frac{16}{k})$. Tọa độ trung điểm M của OA là $M(\frac{8}{{k}^{2}};\frac{8}{k})$.

Do đó ta có ${x}_{M}=\frac{8}{{k}^{2}}$ và ${y}_{M}=\frac{8}{k}$

Suy ra ${y}_{M}^{2}=\frac{64}{{k}^{2}}$ nên ${y}_{M}^{2}=8{x}_{M}$

Vậy tập hợp điểm M là parabol (P) có phương trình y$^{2}$ = 8x.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi phương trình chính tắc của parabol cần tìm có dạng y$^{2}$ = 2px (p > 0).

Parabol đi qua điểm A(4; 9) nên ta có: 9$^{2}$ = 2p.4 suy ra $p=\frac{81}{8}$

Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là ${y}^{2}=\frac{81}{4}x$.