10 Bài tập Lập phương trình chính tắc của elip (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Phương trình chính tắc của elip có dạng là $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ (a > b > 0).

Do elip đi qua điểm (5; 0) nên ta có $\frac{{5}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{0}^{2}}{{b}^{2}}=1$ hay $\frac{25}{{a}^{2}}=1,$ do đó a$^{2}$ = 25.

Do elip có tiêu cự bằng $2\sqrt{5}$ nên ta có $2c=2\sqrt{5},$ suy ra $c=\sqrt{5}$ Do đó c = 5.

Ta có c$^{2}$ = a$^{2}$ – b$^{2}$ nên b$^{2}$ = a$^{2}$ – c$^{2}$ = 25 – 5 = 20.

Vậy phương trình chính tắc của elip là $\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{20}=1$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi phương trình chính tắc của elip cần tìm là $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ (a > b > 0).

Một giao điểm của elip với trục Ox là A$_{1}$(6; 0) suy ra a = 6 (do a > 0).

Elip đi qua $M(0;\sqrt{32})$ nên ta có $\frac{0}{{a}^{2}}+\frac{32}{{b}^{2}}=1\Leftrightarrow {b}^{2}=32$.

Vậy phương trình chính tắc của elip cần tìm là $\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{32}=1.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Gọi phương trình chính tắc của elip là $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ (a > b > 0).

Tiêu điểm F$_{1}$(–1; 0) suy ra c = 1.

Tổng khoảng cách từ mỗi điểm trên elip đến hai tiêu điểm bằng 10 suy ra 2a = 10 nên a = 5.

Ta có c$^{2}$ = a$^{2}$ – b$^{2}$ nên b$^{2}$ = a$^{2}$ – c$^{2}$ = 5$^{2}$ – 1$^{2}$ = 24.

Vậy phương trình chính tắc của elip là $\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{24}=1$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Gọi phương trình chính tắc của elip là $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ (a > b > 0).

Elip có một đỉnh A$_{1}$(–5; 0) nên a = 5.

Elip có một tiêu điểm F$_{2}$(2; 0) nên c = 2.

Ta có c$^{2}$ = a$^{2}$ – b$^{2}$ nên b$^{2}$ = a$^{2}$ – c$^{2}$ = 5$^{2}$ – 2$^{2}$ = 21.

Vậy phương trình của elip đó là $\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{21}=1$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có tổng khoảng cách từ mỗi điểm trên elip đến hai tiêu điểm bằng 2a, độ dài trục bé là 2b.

Theo bài, 2a = 2.2b, do đó a = 2b.

Mà elip có tiêu cự bằng $4\sqrt{3},$ nên ta có $2c=4\sqrt{3}$ suy ra $c=2\sqrt{3}$

Ta có c$^{2}$ = a$^{2}$ – b$^{2}$ nên ${(2\sqrt{3})}^{2}={(2b)}^{2}-{b}^{2}$ hay 3b$^{2}$ = 12 nên b = 2 (do b > 0).

Suy ra a = 2b = 4.

Vậy phương trình chính tắc của elip là $\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1.$