10 Bài tập Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Khoảng cách từ điểm A(1; 1) đến đường thẳng Δ: 5x – 12y – 6 = 0 là $d(A,Δ)=\frac{|5.1-12.1-6|}{\sqrt{{5}^{2}+{(-12)}^{2}}}=1$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Giao điểm của hai đường thẳng x – 3y + 4 = 0 và 2x + 3y – 1 = 0 là nghiệm của hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x-3y+4=0 \\ 2x+3y-1=0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=-1 \\ y=1\end{matrix}$.

Suy ra tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là A(–1; 1).

Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d: 3x + y + 4 = 0 bằng $d(A,Δ)=\frac{|-3+1+4|}{\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng Δ: $\{\begin{matrix}x=1+3t \\ y=2+4t\end{matrix}$ viết dưới dạng phương trình tổng quát là:

$\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{4}\Leftrightarrow 4(x-1)=3(y-2)$

⇔ 4x – 3y + 2 = 0.

Khoảng cách từ điểm M(2; 0) đến đường thẳng Δ là $d(M,Δ)=\frac{|4\cdot 2-3\cdot 0+2|}{\sqrt{{4}^{2}+{(-3)}^{2}}}=2$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Với B(0; 3) và C(4; 0) ta có $\overrightarrow{BC}=(4;-3)$

Khi đó đường thẳng BC đi qua B(0; 3) và nhận $\overrightarrow{n}(3;4)$ làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình là: 3(x – 0) + 4(y – 3) = 0 hay 3x + 4y – 12 = 0.

Khi đó khoảng cách từ A(1; 2) đến đường thẳng BC chính là chiều cao kẻ từ A của tam giác ABC, và bằng

$d(A,BC)=\frac{|3\cdot 1+4\cdot 2-12|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}=\frac{1}{5}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Phương trình đường thẳng $Δ:\{\begin{matrix}x=2+3t \\ y=t\end{matrix}$ được viết thành: $\frac{x-2}{3}=\frac{y}{1}$ hay x – 3y – 2 = 0.

Khoảng cách nhỏ nhất từ điểm M(15; 1) đến một điểm bất kì thuộc đường thẳng ∆ chính là khoảng cách từ điểm M đến ∆, và bằng:

$d(M,Δ)=\frac{|15-3\cdot 1-2|}{\sqrt{{1}^{2}+{(-3)}^{2}}}=\frac{10}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng Δ bằng:

$d(A,Δ)=\frac{|m\cdot (-1)+2-m+4|}{\sqrt{{m}^{2}+{1}^{2}}}=2\sqrt{5}$

$\Leftrightarrow |m-3|=\sqrt{5}\cdot \sqrt{{m}^{2}+1}\Leftrightarrow {m}^{2}-6m+9=5({m}^{2}+1)$

$\Leftrightarrow 4{m}^{2}+6m-4=0\Leftrightarrow [\begin{matrix}m=-2 \\ m=\frac{1}{2}\end{matrix}$

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Vì (C) tiếp xúc với ∆ nên khoảng cách từ O đến đường thẳng ∆ chính là bán kính của đường tròn, và bằng:

$R=d(O,Δ)=\frac{|8\cdot 0+6\cdot 0+100|}{\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}}=\frac{100}{10}=10.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $d(M,Δ)=\frac{|0\cdot \text{cos}α\text{+}3\sin α+3(2-\sin α)|}{\sqrt{{\cos }^{2}α+{\sin }^{2}α}}=\frac{|6|}{\sqrt{1}}=6.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có d$_{1}$ và d$_{2}$ song song với nhau nên ta chọn A(4; 3) ∈ d$_{2}$.

Khi đó $d({d}_{1},{d}_{2})=d(A,{d}_{1})=\frac{|6\cdot 4-8\cdot 3-101|}{\sqrt{{6}^{2}+{(-8)}^{2}}}=\frac{101}{10}=10{,}1.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{d}(7;1)$ nên có một vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow{u}}_{d}(1;-7).$

Đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow{u}}_{Δ}(1;-7).$

Do đó hai đường thẳng d và ∆ song song với nhau.

Lấy A(–2; 2) ∈ ∆. Khi đó $d(d,Δ)=d(A,d)=\frac{|7\cdot (-2)+2-3|}{\sqrt{{7}^{2}+{1}^{2}}}=\frac{15}{\sqrt{50}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}.$