10 Bài tập Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Vì SA ^ (ABCD) nên SA ^ AB mà AB ^ AD Þ AB ^ (SAD) Þ AB ^ AK.

Nếu AK ^ AC mà AB ^ AK Þ AK ^ (ABC) Þ AK º SA vì SA ^ (ABC).

Þ SA ^ SD Þ DSAD có hai góc vuông (vô lý). Suy ra đáp án A sai.

Vì ABCD là hình vuông AC và CD không vuông góc với nhau. Do đó đáp án B sai.

Nếu AC ^ OH mà AC ^ BD nên AC ^ (SBD) Þ AC ^ SO

Þ DSOA có hai góc vuông (vô lý).

Do đó đáp án C sai.

Đáp án đúng là: C

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.

Vì các DACD, DBCD đều nên $AN=BN=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Do đó DANB cân tại N, suy ra MN ^ AB

Chứng minh tương tự ta có MN ^ CD, nên d(AB, CD) = MN.

Vì M là trung điểm của AB nên $AM=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}$ .

Xét DAMN vuông tại M, có $MN=\sqrt{A{N}^{2}-A{M}^{2}}=\sqrt{\frac{3{a}^{2}}{4}-\frac{{a}^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

Đáp án đúng là: D

Vì SA ^ (ABCD) Þ SA ^ CD mà CD ^ AD Þ CD ^ (SAD) Þ CD ^ SD (1).

Mặt khác BC ^ CD (2).

Từ (1), (2), ta có CD là đoạn vuông góc chung của BC và SD.

Do đó d(BC, SD) = CD = AB (do ABCD là hình chữ nhật).

Xét DABC vuông tại B, có $AB=\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}=\sqrt{5{a}^{2}-2{a}^{2}}=\sqrt{3}a$ .

Đáp án đúng là: C

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD nên O là trung điểm của AC, BD.

Vì ABCD là hình vuông nên AC ^ BD tại O.

Do đó BO ^ AC (1).

Mà BB' ^ (ABCD) Þ BB' ^ BO (2).

Từ (1) và (2), ta có BO là đoạn vuông góc chung của AC và BB'.

Do đó d(AC, BB') = BO.

Mà $BO=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

Do đó d(AC, BB') = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

Đáp án đúng là: B

Vì AA' // BB' nên AA' // (BB'D'D).

Do đó d(AA', BD') = d(AA', (BB'D'D)) = d(A, (BB'D'D)).

Gọi O là tâm hình vuông ABCD.

Vì ABCD là hình vuông nên AO ^ BD mà BB' ^ AO (do BB' ^ (ABCD)).

Suy ra AO ^ (BB'D'D).

Do đó d(A, (BB'D'D)) = AO $=\frac{1}{2}AC=\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Đáp án đúng là: A

Vì AA' ^ (ABCD) Þ AA' ^ AD.

Vì AA' ^ (A'B'C'D') Þ AA' ^ A'C'.

Do đó AA' là đoạn vuông góc chung của AD và A'C'.

Đáp án đúng là: A

Có CD // AB Þ CD // (SAB).

Do đó d(CD, SB) = d(CD, (SAB)) = d(C, (SAB)).

Vì SA ^ (ABCD) Þ SA ^ CB mà CB ^ AB nên CB ^ (SAB).

Do đó d(C, (SAB)) = CB = a.

Đáp án đúng là: B

Gọi J là trung điểm OB. Kẻ OH vuông góc AJ tại H.

Vì J là trung điểm của OB nên $OJ=\frac{OB}{2}=\frac{a}{2}$ .

Tam giác AOJ vuông tại O, có OH là đường cao

Ta có: $\frac{1}{O{H}^{2}}=\frac{1}{O{A}^{2}}+\frac{1}{O{J}^{2}}=\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{4}{{a}^{2}}=\frac{5}{{a}^{2}}\Rightarrow OH=\frac{a\sqrt{5}}{5}$ .

Vì I, J là trung điểm của BC và OB nên IJ là đường trung bình của DOBC.

Suy ra IJ // OC Þ OC // (AIJ)

Do đó: d(OC, AI) = d(OC, (AIJ)) = d(O, (AIJ)).

Vì IJ // OC mà OC ^ OB nên IJ ^ OB (1).

Vì OA ^ OB và OA ^ OC nên OA ^ (OBC) Þ OA ^ IJ (2).

Từ (1), (2), suy ra IJ ^ (OAB) Þ IJ ^ OH mà OH ^ AJ Þ OH ^ (AIJ).

Do đó d(O, (AIJ)) = OH = $\frac{a\sqrt{5}}{5}$ .

Đáp án đúng là: C

Gọi H là trung điểm của AD. Khi đó AH = HD = a.

Vì BC // HD và BC = HD = a nên BCDH là hình bình hành.

Do đó CD // BH Þ CD // (SBH).

Do đó d(SB, CD) = d(CD, (SBH)) = d(D, (SBH)) = d(A, (SBH)).

Gọi h = d(A, (SBH)).

Vì SA, AH, AB đôi một vuông góc với nhau nên ta có :

$\frac{1}{{h}^{2}}=\frac{1}{S{A}^{2}}+\frac{1}{A{H}^{2}}+\frac{1}{A{B}^{2}}=\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{a}^{2}}=\frac{3}{{a}^{2}}\Rightarrow h=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Đáp án đúng là: D

Gọi O = AC Ç BD. Gọi H là hình chiếu của O lên SA.

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO ^ (ABCD) Þ SO ^ BD.

Mà AC ^ BD nên BD ^ (SAC) Þ BD ^ OH.

Mà OH ^ SA. Do đó OH là đoạn vuông góc chung của SA và BD.

Suy ra d(SA, BD) = OH.

Xét DABC vuông tại B, ta có $AC=\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}=a\sqrt{2}$ .

Lại có O là trung điểm của AC nên $OA=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

Xét DSOA vuông tại O, có $\frac{1}{O{H}^{2}}=\frac{1}{S{O}^{2}}+\frac{1}{O{A}^{2}}=\frac{1}{{h}^{2}}+\frac{2}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}+2{h}^{2}}{{a}^{2}{h}^{2}}$ .

Þ $OH=\frac{ah}{\sqrt{{a}^{2}+2{h}^{2}}}$.