10 bài tập Góc giữa hai mặt phẳng có lời giải

Đáp án đúng là: C

Có $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 1; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}} \left( {1;0; - 1} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).

Khi đó $\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 - 1.0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ φ = 30°.

Đáp án đúng là: D

Có $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;2;1} \right),\overrightarrow {{n_2}} \left( {1;0;1} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) và (β).

Khi đó $\cos \left( {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 + 2.0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ φ = 45°.

Đáp án đúng là: D

Có $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {8; - 4; - 8} \right),\overrightarrow {{n_2}} \left( {\sqrt 2 ; - \sqrt 2 ;0} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).

Khi đó $\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {8.\sqrt 2 + 4.\sqrt 2 - 8.0} \right|}}{{\sqrt {{8^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 8} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ φ = 45°.

Đáp án đúng là: A

Góc giữa hai mặt phẳng Oxy và Oxz bằng 90°.

Đáp án đúng là: A

Có $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;1; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}} \left( {2;2; - 2} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).

Suy ra $\overrightarrow {{n_2}} = 2\overrightarrow {{n_1}}$. Do đó góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là 0°.

Đáp án đúng là: A

Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Do $\left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right) = 120^\circ > 90^\circ$ φ = 180° - 120° = 60°.

Đáp án đúng là: B

Có $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2;2} \right),\overrightarrow {{n_2}} \left( {2;2; - 1} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).

$\cos \alpha = \frac{{\left| {1.2 + \left( { - 2} \right).2 + 2.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{4}{9}$.

Đáp án đúng là: C

Có $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}} \left( {2; - 1; - 1} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).

$\cos \alpha = \frac{{\left| {1.2 + 2.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt 6 .\sqrt 6 }} = \frac{1}{6}$.

Đáp án đúng là: C

Có $\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right),\overrightarrow n \left( {1; - 1;0} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxz) và (P).

Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (Oxz) và (P), ta có:

$\cos \alpha = \frac{{\left| {1.0 + 1.\left( { - 1} \right) + 0.0} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ α = 45°.

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 1;0} \right)$.

Vì OH (Q) nên mặt phẳng (Q) nhận $\overrightarrow {OH} = \left( {2; - 1; - 2} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Ta có $\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {1.2 + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + 0.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ ((P), (Q)) = 45°.