10 bài tập Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có lời giải

Đáp án đúng là: A

Vì Oy (Oxz) nên góc giữa Oy và mặt phẳng (Oxz) bằng 90°.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( { - 2;1; - 3} \right)$.

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {2; - 1;3} \right)$.

Ta có $\overrightarrow u = - \overrightarrow n$ nên d (P) (d, (P)) = 90°. Do đó sin(d, (P)) = 1.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {1;2; - 2} \right)$; mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {2; - 1;2} \right)$.

Ta có $\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {1.2 + 2.\left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right).2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{4}{9}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có OA (Oxz) nên góc giữa đường thẳng OA và mặt phẳng (Oxz) bằng 90°.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {1;2; - 1} \right)$; mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {1; - 1;2} \right)$.

Ta có $\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {1.1 + 2.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{1}{2}$ α = 30°.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng chứa trục Oy có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)$; mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {4; - 3;\sqrt 2 } \right)$. Gọi α là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trên.

Ta có $\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {0.4 + 1.\left( { - 3} \right) + 0.\sqrt 2 } \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} .\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.

Suy ra $\cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}$.

Đáp án đúng là: C

Các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng (P), (α), (β) lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3;4;5} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; - 2;0} \right),\overrightarrow {{n_3}} = \left( {1;0; - 2} \right)$.

Ta có $\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_2}} ,\overrightarrow {{n_3}} } \right] = \left( {4;2;2} \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Do đó $\sin \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow {{n_1}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|}} = \frac{{\left| {3.4 + 4.2 + 5.2} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {5^2}} .\sqrt {{4^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ φ = 60°.

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {2;1;4} \right)$; mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {3; - 2;1} \right)$.

Ta có $\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {2.3 + 1.\left( { - 2} \right) + 4.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {4^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{4\sqrt 6 }}{{21}}$.

Đáp án đúng là: A

Phương trình mặt phẳng (ABC): $\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{1} + \frac{z}{{ - 3}} = 1$ 3x – 6y + 2z + 6 = 0.

Suy ra mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {3; - 6;2} \right)$, đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {2;1;2} \right)$.

Khi đó $\sin \left( {d,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {2.3 + 1.\left( { - 6} \right) + 2.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{4}{{21}}$

(d, (ABC)) ≈ 11°.

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {1;2; - 1} \right)$; mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {1; - 1;2} \right)$.

Ta có $\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {1.1 + \left( { - 1} \right).2 + 2.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{2}$.

(d, (P)) = 30°.