10 Bài tập Giải quyết một số vấn đề thực tiễn liên quan đến cấp số cộng (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Dãy số 45; 43; 41; ...; 31 là một cấp số cộng có số hạng đầu u$_{1}$ = 45 và công sai d = –2. Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng trên là:

u$_{n}$ = 45 + (n – 1)(– 2) = 47 – 2n, ∀ n ∈ ℕ*.

Thanh cuối cùng có độ dài là 31 cm nên để tìm thang có bao nhiêu bậc tương ứng với tìm thanh ngang cuối cùng là số hạng thứ bao nhiêu trong cấp số cộng trên.

Ta có u$_{n}$ = 47 – 2n = 31 ⇔ n = 8.

Vậy cái thang có 8 bậc.

Đáp án đúng là: A

Cấp số cộng có số hạng đầu tiên là u$_{1}$ = 16 và công sai d = 32.

Khi đó công thức số hạng tổng quát là: u$_{n}$ = 16 + (n – 1).32 = 32n – 16.

Sau 10 giây buông dù quãng đường người đó rơi tự do là:

u$_{10}$ = 32.10 – 16 = 304 (feet).

Tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong 10 giây đầu tiên cũng chính là tổng của 10 số hạng đầu tiên trong cấp số cộng và bằng:

${S}_{10}=\frac{10.(16+304)}{2}=1600$.

Vậy tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong 10 giây đầu tiên là 1 600 feet.

Đáp án đúng là: C

Chiều cao của các cây lập thành một cấp số cộng un

Cây thấp nhất có kiểu gene aabb nên u$_{1}$ = 100.

Nếu cứ thêm một alen trội A hay B thì chiều cao cây tăng thêm 5 cm do đó công sai của cấp số cộng là d = 5.

Vậy cây cao nhất với kiểu gene AABB có chiều cao là: 100 + 5.4 = 120 (cm).

Đáp án đúng là: A

Giá trị của chiếc xe ô tô trong từng năm lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu là u$_{1}$ = 680 và công sai d = – 55 (do giá xe giảm).

Do đó, giá trị còn lại của chiếc ô tô sau 5 năm sử dụng là

u$_{5}$ = u$_{1}$ + (5 – 1)d = 680 + 4 . (– 55) = 460 (triệu đồng).

Vậy giá còn lại của chiếc xe sau 5 năm sử dụng là 460 triệu đồng.

Đáp án đúng là: B

Số ghế ở mỗi hàng của hội trường lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u$_{1}$ = 15 và công sai d = 3.

Giả sử cần thiết kế tối thiếu n hàng ghế để hội trường có sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi.

Ta có: ${S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] = \frac{n}{2}\left[ {2\,.\,\,15 + \left( {n - 1} \right)\,.\,3} \right] \ge 870$

Do đó, n(30 + 3n – 3) ≥ 1740

⇔ n(3n + 27) – 1740 ≥ 0

⇔ 3n$^{2}$ + 27n – 1740 ≥ 0

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n \le - 29\\n \ge 20\end{array} \right.$.

Vậy cần thiết kế tối thiểu 20 hàng ghế để thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là: D

Dân số mỗi năm của thành phố từ năm 2020 đến năm 2030 lập thành một cấp số cộng, gồm 11 số hạng (2030 – 2020 + 1 = 11), với số hạng đầu u$_{1}$ = 1 200 và công sai d = 30.

Ta có: u$_{11}$ = u$_{1}$ + (11 – 1)d = 1 200 + 10 . 30 = 1 500.

Vậy dân số của thành phố này vào năm 2030 khoảng 1 500 nghìn người hay 1,5 triệu người.

Đáp án đúng là: A

Ta có thửa ruộng thấp nhất có độ cao u$_{1}$ = 1 250 m so với mực nước biển.

• Thửa ruộng ở bậc thứ hai cao hơn so với mực nước biển là:

u$_{2}$ = 1 250 + 1,2 (m).

• Thửa ruộng ở bậc thứ ba cao hơn so với mực nước biển là:

u$_{3}$ = 1 250 + 1,2 + 1,2 = 1 250 + 2.1,2 (m).

...

• Thửa ruộng ở bậc thứ 10 cao hơn so với mực nước biển là:

u$_{10}$ = 1 250 + 9.1,2 = 1260,8 (m).

Vậy thửa ruộng ở bậc thứ 10 có độ cao là 1260,8 m so với mực nước biển.

Đáp án đúng là: C

Gọi u$_{n}$ là số tiền lương của bác Tư nhận được vào năm thứ n.

Khi đó, dãy số (u$_{n}$) tạo thành cấp số cộng có u$_{1}$ = 240 và d = 12.

Ta có u$_{11}$ = u$_{1}$ + 10d = 240 + 10.12 = 360.

Vậy vào năm thứ 11, số tiền lương một năm của bác Tư là 360 triệu đồng.

Đáp án đúng là: D

Gọi u$_{n}$ là số ghế ở hàng thứ n.

Khi đó, dãy số (u$_{n}$) tạo thành cấp số cộng với u$_{1}$ = 20 và d = 1.

Tổng số ghế có trong rạp hát là: ${S}_{20}=\frac{20.[2.20+(20-1).1]}{2}=590$.

Tổng số tiền vé thu được là: 590 . 60 000 = 35 400 000 (đồng).

Đáp án đúng là: C

Lúc 1 giờ đêm, toà tháp đánh 1 tiếng chuông; lúc 2 giờ đêm, toà tháp đánh 2 tiếng chuông, ...; lúc 12 giờ trưa, toà tháp đánh 12 tiếng chuông.

Ngoài ra, mỗi 30 phút không phải là giờ đúng thì đánh 1 tiếng chuông (có 11 lần như thế từ 1 giờ đến 12 giờ).

Vậy tổng số tiếng chuông là:

S = (1 + 2 + 3 + ...+ 12) + 1 . 11 = =$\frac{(1+12).12}{2}$+11 = 89 (tiếng chuông).

Vậy bắt đầu từ lúc 1 giờ đêm đến 12 giờ trưa, chuông đồng hồ đó đã đánh tất cả 89 tiếng.