10 Bài tập Giải một số phương trình lượng giác đưa về phương trình lượng giác cơ bản (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Dạng tổng quát của phương trình bậc nhất với sinx và cosx là:

asinx + bcosx = c.

Từ đó suy ra phương trình sinx + 2cosx = 2 là phương trình bậc nhất với sinx và cosx.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

cos$^{2}$x – 3cosx + 2 = 0

Đặt t = cosx (–1 ≤ t ≤ 1)

Phương trình trở thành:

t$^{2}$ – 3t + 2 = 0 ⇔ $[\begin{matrix}t=1 \\ t=2\end{matrix}$.

Với t = 1, ta có: cosx = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ ℤ

Với t = 2, phương trình vô nghiệm.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = $\{k2π|k\in ℤ\}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

cos2x – sinx + 2 = 0

⇔ 1 – 2sin$^{2}$x – sinx + 2 = 0

⇔ 2sin$^{2}$x + sin x – 3 = 0

⇔ $[\begin{matrix}\sin x=1\ (TM) \\ \sin x=\frac{-3}{2}\ (KTM)\end{matrix}$

Với sinx = 1 ⇔ x = $\frac{π}{2}+k2π$, k ∈ ℤ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Thay x = $\frac{π}{4}$ vào phương trình 3tan$^{2}$x – 4tanx + 1 = 0 ta có:

$3{\tan }^{2}(\frac{π}{4})-4\tan (\frac{π}{4})+1=0$ (thỏa mãn)

Do đó, x = $\frac{π}{4}$ là một nghiệm của phương trình 3tan$^{2}$x – 4tanx + 1 = 0.

Đáp án đúng là: C

sin3x + cos3x = 1

⇔ $\frac{1}{{\sqrt {1 + 1} }}\sin 3x + \frac{1}{{\sqrt {1 + 1} }}\cos 3x = \frac{1}{{\sqrt {1 + 1} }}$

⇔ $\frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin 3x + \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos 3x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$

⇔ $\cos \frac{\pi }{4}.\sin 3x + \sin \frac{\pi }{4}.\cos 3x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$

⇔ $\sin \left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$

⇔ $\sin \left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \frac{\pi }{4}$

⇔ $\left[ \begin{array}{l}3x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\3x + \frac{\pi }{4} = \pi - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.$ , k ∈ ℤ

⇔ $\left[ \begin{array}{l}3x = k2\pi \\3x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.$ , k ∈ ℤ

⇔ $\left[ \begin{array}{l}x = k\frac{2}{3}\pi \\x = \frac{\pi }{6} + k\frac{2}{3}\pi \end{array} \right.$ , k ∈ ℤ.

Đáp án đúng là: B

sinx – $\sqrt 3$cosx = 1

⇔ $\frac{1}{{\sqrt {1 + 3} }}\sin x - \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {1 + 3} }}\cos x = \frac{1}{{\sqrt {1 + 3} }}$

⇔ $\frac{1}{2}\sin x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \frac{1}{2}$

⇔ $\cos \frac{\pi }{3}.\sin x - \sin \frac{\pi }{3}.\cos x = \frac{1}{2}$

⇔ $\sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}$

⇔ $\sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \frac{\pi }{6}$

⇔ $\left[ \begin{array}{l}x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x - \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.$, k ∈ ℤ

⇔ $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.$, k ∈ ℤ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Thay x = $\frac{π}{8}$ vào phương trình, ta có:

sin $(2.\frac{π}{8})$ + cos $(2.\frac{π}{8})$ = $\sqrt{2}$ (thỏa mãn).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

sin$^{2}$x – $(\sqrt{3}+1)$sinx.cosx + $\sqrt{3}$ cos$^{2}$x = 0 (1)

Xét cosx = 0

Phương trình (1) trở thành: sin$^{2}$x = 0 ⇔ sinx = 0 (sin$^{2}$x + cos$^{2}$x = 0 ≠ 1 nên vô lý).

Xét cosx ≠ 0. Chia cả hai vế của (1) cho cos$^{2}$x ta được:

(1) ⇔ tan$^{2}$x – $(\sqrt{3}+1)$ tanx + $\sqrt{3}$ = 0

⇔$[\begin{matrix}\tan x=\sqrt{3} \\ \tan x=1\end{matrix}$

⇔$[\begin{matrix}x=\frac{π}{3}+kπ \\ x=\frac{π}{4}+kπ\end{matrix}$, k ∈ ℤ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

cos$^{3}$x – 4sin$^{3}$x – 3cosx.sin$^{2}$x + sinx = 0 (1)

Xét cos x = 0, ta có:

(1) ⇔ – 4sin$^{3}$x + sinx = 0

⇔ sinx(– 4sin$^{2}$x + 1) = 0

⇔ sinx(– 2sinx + 1)(1 + 2sinx) = 0

⇔ $[\begin{matrix}\sin x=0 \\ \sin x=\frac{1}{2} \\ \sin x=-\frac{1}{2}\end{matrix}$ (cả ba đều KTM vì sin$^{2}$x + cos$^{2}$x ≠ 1).

Xét cosx ≠ 0 , ta chia cả hai vế của (1) cho cos$^{3}$x ta được:

1 – 4tan$^{3}$x – 3tan$^{2}$x + tanx(1 + tan$^{2}$x) = 0

⇔ 3tan$^{3}$x + 3tan$^{2}$x – tanx – 1 = 0

⇔ (tanx + 1)(3tan$^{2}$ x – 1) = 0

⇔ $[\begin{matrix}\tan x=-1 \\ \tan x=\frac{\sqrt{3}}{3} \\ \tan x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\end{matrix}\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=-\frac{π}{4}+kπ \\ x=\frac{π}{6}+kπ \\ x=-\frac{π}{6}+kπ\end{matrix}$ , k ∈ ℤ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

sin$^{2}$x – sin$^{2}$x.cos$^{2}$x = 1

⇔ sin$^{2}$x(1 – cos$^{2}$x) = 1

⇔ sin$^{2}$x.sin$^{2}$x = 1

⇔ sin$^{4}$x = 1

⇔ $[\begin{matrix}\sin x=1 \\ \sin x=-1\end{matrix}$

⇔ $[\begin{matrix}x=\frac{π}{2}+k2π \\ x=-\frac{π}{2}+k2π\end{matrix}$, k ∈ ℤ.