10 bài tập Chứng minh hai biểu thức tích bằng nhau có lời giải

Đáp án đúng là: D

Ta có tứ giác ABDC nội tiếp nên

$\widehat {BAC} + \widehat {CDB} = 180^\circ$.

Mà $\widehat {BAC} + \widehat {CAI} = 180^\circ$ (hai góc kề bù)

Do đó, $\widehat {CAI} = \widehat {CDB}$.

Xét ∆IDB và ∆IAC, có:

$\widehat {CAI} = \widehat {CDB}$ (cmt)

$$\widehat {AIC} = \widehat {BID}$$

Do đó, ∆IDB ᔕ ∆IAC (g.g)

Suy ra $\frac{{ID}}{{IA}} = \frac{{IB}}{{IC}}$ nên IA.IB = IC.ID.

Đáp án đúng là: A

Xét ∆ADC và ∆ACE, có:

$\widehat {EAC}$ chung (gt)

$\widehat {AEC} = \widehat {ACD}$ (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Do đó, ∆ADC ᔕ ∆ACE (g.g)

Suy ra $\frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{AE}}$ hay AC$^{2}$ = AD.AE.

Mà ta có AB = AC nên AB$^{2}$ = AC$^{2}$ = AD.AE.

Đáp án đúng là: D

Xét ∆ADC và ∆ACE, có:

$\widehat {EAC}$ chung (gt)

$\widehat {AEC} = \widehat {ACD}$ (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Do đó, ∆ADC ᔕ ∆ACE (g.g)

Suy ra $\frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{AE}}$ hay AC$^{2}$ = AD.AE.

Mà ta có AB = AC nên AB$^{2}$ = AC$^{2}$ = AD.AE = AB.AC.

Đáp án đúng là: A

Xét hai tam giác vuông ∆EBH và ∆ECA, có:

$\widehat {EBH} = \widehat {ECA}$ (cùng phụ với $\widehat {BAC}$)

Do đó, ∆EBH ᔕ ∆ECA (g.g)

Suy ra $\frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{EH}}{{EA}}$ suy ra EB.EA = EC.EH.

Đáp án đúng là: A

Ta có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H nên H là trực tâm của tam giác ABC.

Do đó, AH ⊥ BC (1)

Lại có M là trung điểm của BC nên OM ⊥ BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra OM ∕∕ AH.

Mà O là trung điểm của AF nên OM là đường trung bình của tam giác AHF.

Suy ra AH = 2OM.

Đáp án đúng là: B

Xét hai tam giác vuông ∆HDC và ∆ADB có

$\widehat {EBH} = \widehat {ECA}$ (cùng phụ với $\widehat {BAC}$).

Do đó, ∆HDC ᔕ ∆ADB (g.g)

Suy ra $\frac{{DH}}{{DA}} = \frac{{DC}}{{DB}}$ hay HD.DB = DA.DC.

Đáp án đúng là: B

Xét ∆HBA và ∆CDA, có:

$$\widehat {BHA} = \widehat {DCA} = 90^\circ$$

$\widehat {ABH} = \widehat {ADC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Do đó, ∆HBA ᔕ ∆CDA (g.g)

Suy ra $\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AH}}{{AC}}$ hay AB.AC = AH.AD.

Đáp án đúng là: A

Xét ∆HBA và ∆CDA, có:

$$\widehat {BHA} = \widehat {DCA} = 90^\circ$$

$\widehat {ABH} = \widehat {ADC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Do đó, ∆HBA ᔕ ∆CDA (g.g)

Suy ra $\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AH}}{{AC}}$ hay AB.AC = AH.AD.

Đáp án đúng là: D

Ta có:

∆ABC vuông tại C, có HC là đường cao.

Ta có ∆HAC ᔕ ∆CAB (g.g)

Do đó, ta được $\frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{AB}}$ hay AH.AB = AC$^{2}$.

Mà AB là đường trung trực của CD nên AC = AD.

Do đó, AH.AB = AD$^{2}$.

Đáp án đúng là: C

Do AD, BE là các đường cao nên

$\widehat {HDC} = \widehat {HEC} = 90^\circ$.

Vì ∆HDC vuông tại D nên ba điểm H, D, C cùng thuộc đường tròn đường kính HD.

∆HEC vuông tại E nên ba điểm H, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính HE.

Suy ra H, D, C, E cùng thuộc một đường tròn.

Các góc $\widehat {HCD},\widehat {HED}$ cùng chắn cung HD nên $\widehat {HCD} = \widehat {HED}$ (1).

Xét hai tam giác ∆BDE và ∆BHC, có:

$\widehat {HCD} = \widehat {HED}$ và $\widehat {EBC}$ chung.

Do đó, ∆BDE ᔕ ∆BHC.

Từ đó ta nhận được $\frac{{BD}}{{BH}} = \frac{{BE}}{{BC}}$ suy ra BH.BE = BC.BD.

Chứng minh tương tự ta có CH.CF = CD.CB.

Suy ra CH.CF = CD.CB.

Do đó, chọn đáp án C.